Una predicción de puntaje de prueba
Fred obtiene 1, 2 y 2 en sus tres primeras pruebas. Está bastante feliz porque no estudió. Fred quiere predecir su próxima puntuación.
Ayudaremos a Fred a ajustar una ecuación lineal, una ecuación cuadrática y una ecuación exponencial a sus datos.
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La ubicación de los datos en el plano x – y se denomina dispersión y el «ajuste» se mide tomando cada punto de datos y elevando al cuadrado su distancia vertical a la curva de la ecuación. Sumar las distancias al cuadrado para cada punto nos da la suma del error de los cuadrados , E.
Escribir ecuaciones y fórmulas: Componentes, métodos y ejemplos
Una ecuación lineal
Una ecuación lineal tiene la forma: y = a + b x .
La distancia vertical a esta curva de ecuación es el valor y de los datos menos el valor de y dado por la ecuación. Esto se escribe: y 1 – ( a + b x 1 ). Cuadrando esta diferencia y sumándola a las contribuciones de los otros puntos:
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Este es nuestro error de suma de cuadrados, E. Una notación de suma Σ condensa cosas.
Balanceo de Ecuaciones Químicas por Método Algebraico
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Los subíndices i son y y x . El i = 1 debajo de Σ y n sobre el Σ significa que i va de 1 a n .
El método de regresión de mínimos cuadrados encuentra a y b haciendo que la suma de errores cuadrados, E, sea lo más pequeña posible. Regresión es otra palabra para error.
E diferenciar con respecto a una y puesto a 0.
Hipérbola: forma estándar, definición, ecuaciones y ejemplos
Ecuación (1):
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Diferenciar E con respecto a b , establecer en 0 y obtener la ecuación (2):
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Simplifica la ecuación (1).
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Vale, ¿qué pasó aquí? Manteniendo las partes de la derecha de la ecuación, divida por -2 y haga la suma de cada término. Esto da Σ y i -Σ a – Σ b x i = 0.
La a en Σ a se convierte en Σ (1) porque a no depende de i . Σ (1) de i = 1 an es n porque el número 1 se suma un total de n veces. Por tanto, Σ a se convierte en una n .
Σ b x i es b Σ x i porque b no depende de i .
Haga el mismo tipo de cosas para simplificar la ecuación (2).
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Calcular sumas:
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Sustituyendo sumas:
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Resolver dos ecuaciones y dos incógnitas produce a = 2/3 y b = 1/2.
De y = a + b x y un ajuste de mínimos cuadrados, a = 2/3 y b = 1/2. Entonces, y = 2/3 + (1/2) x .
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El ajuste es bastante bueno. Si volvemos a la ecuación para E y sustituimos una y b valores, el error E ≅ 0,16. Se predice que la cuarta puntuación de Fred será y = 2/3 + (1/2) x = 2/3 + (1/2) 4 ≅ 2.7. ¡Incluso sin estudiar, la puntuación de Fred está mejorando! Quizás deberíamos mirar otra ecuación.
Una ecuación cuadrática
Calcule una regresión de mínimos cuadrados cuando la ecuación es una ecuación cuadrática :
Y = un + b x + c x 2 .
El error de la suma de cuadrados, E:
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El parcial con respecto a a :
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El parcial con respecto a b :
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Y el parcial con respecto a c :
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Estas ecuaciones se simplifican a:
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La mayoría de estas sumas ya están calculadas. Todavía necesitamos:
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Sustituyendo:
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Estas tres ecuaciones y tres incógnitas se resuelven por un , b y c .
De y = a + b x + c x 2 y un ajuste de mínimos cuadrados, a = -1, b = 2.5 yc = -1/2. Por lo tanto, y = -1 + 2.5 x – (1/2) x 2 .
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En este caso, la curva pasa por cada punto y el error E = 0. Esto se espera cuando se ajusta una cuadrática a solo 3 puntos. ¿Cuál es la predicción del cuarto puntaje de Fred? y = -1 + 2.5 x – (1/2) x 2 = -1 + 2.5 (4) – (1/2) (4) 2 = 1. ¡Oh, no! La puntuación de Fred es más baja cuando se usa esta ecuación. Es hora de probar una ecuación más.
Una ecuación exponencial
La ecuación exponencial es y = a e b x .
Toma el logaritmo natural de ambos lados:
ln y = ln ( a e segundo x ) = ln a + ln e segundo x = ln a + segundo x .
Vamos a ln y ser Y y Ln un ser A dando Y = A + B x que es una ecuación lineal.
Por lo tanto, la E a minimizar:
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Tomando la derivada parcial con respecto a A y simplificando:
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Y la derivada parcial con respecto ab y simplificando:
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Las dos incógnitas son A y b .
Calcular sumas:
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Sustituyendo:
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Resolviendo, obtenemos b = .347 y A = -.232. Ahora, A = ln a entonces -.232 = ln a . Por lo tanto, a = e -.232 ≅ 0.793 y y = .793 e .347 x
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Calculando E, encontramos E ≅ .25; no tan bueno como la ecuación lineal ni la ecuación cuadrática. ¿Y Fred? y = 0,793 e 0,347 x = 0,793 e 0,347 (4) ≅ 3,2. ¡Fred está delirantemente feliz!
Alguien debe recordarle a Fred que el error depende de la elección de la ecuación y la dispersión de los datos. Y, por supuesto, estudiar para una prueba no estaría de más.
Resumen de la lección
La dispersión se refiere a la ubicación de los datos en el plano x – y . Al ajustar una ecuación y calcular la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los datos y la ecuación, se mide el error de suma de cuadrados . Otra palabra para error es regresión . Minimizar el error de la suma de cuadrados se denomina regresión de mínimos cuadrados . El error depende de cómo se dispersen los datos y de la elección de la ecuación. En esta lección, analizamos una ecuación lineal , una ecuación cuadrática y una ecuación exponencial .
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