Integrales dobles: aplicaciones y ejemplos

Antecedentes de las integrales

A veces podemos tomar un concepto en una dimensión y aplicarlo a una dimensión superior. La línea en una dimensión se convierte en la superficie en dos dimensiones. Al extender esta idea al ámbito de la integración del cálculo, la integral simple (que usa una variable) se convierte en la integral doble (que usa dos variables). Muchas de las mismas reglas para evaluar integrales simples se aplican aquí, por lo que si no está familiarizado con esas reglas, es posible que desee revisar algunas de nuestras lecciones sobre la evaluación de intervalos únicos primero. En esta lección, analizamos los métodos para evaluar la integral doble y algunas de las aplicaciones interesantes.

Encontrar el área de una región acotada

Observa un rectángulo, de largo 4 y ancho 2, en el plano x – y .

Podemos acotar este rectángulo usando las líneas x = 2, x = 6, y = 1 e y = 3.

Encontrar esta área usando una integral doble:

La integral interna:

La integral doble ahora se convierte en esto:

Hagamos otro ejemplo de área.

Identifica las curvas que delimitan esta figura.

Como antes, el área viene dada por esto:

La integral interna (que tiene límites definidos por curvas que delimitan la región) es una integración en x . Fijamos una y y miramos qué curvas unen los valores de x .

Para una y fija , los valores de x van desde x = y hasta x = 2 – y . Tenga en cuenta que las fórmulas para las curvas se han reescrito para que x sea ​​el tema.

Nuestra integral interior es ahora:

La integral doble se convierte en:

Los límites de la integral externa (que usa los límites numéricos de la región en lugar de curvas) son los límites numéricos de la variable y . Estos límites para y son 0 y 1.

Nuestra doble integral ahora se convierte en:

Tenga en cuenta que también podemos usar integrales dobles para encontrar áreas de regiones limitadas que forman formas más complejas, que pueden no ser tan familiares como rectángulos o triángulos. Siempre que tengamos cuidado al definir los límites de las integrales internas y externas, podemos seguir los mismos pasos generales para encontrar el área.

Explorando el orden de la integración

Al dividir una región, consideramos elementos rectangulares de dimensión Δ x por Δ y . El producto de estas dimensiones rectangulares nos da un área pequeña. A medida que esta pequeña área se vuelve infinitamente más pequeña, los Δ se vuelven diferenciales. Es decir, Δ x se convierte en d x y Δ y se convierte en d y .

¿Y si cambiamos el orden de los diferenciales? Dado que la multiplicación es conmutativa, d x d y = d y d x . El elemento de área podría escribirse como d y d x en lugar de d x d y . Intuitivamente, el resultado debería seguir siendo el mismo. Sin embargo, la forma en que realizamos el cálculo de integración cambiará.

Reelaborar el último ejemplo con la integral interna ahora en y significa que la fijación de una x produce dos regiones.

Para una x fija en la región 1, y está limitada por y = 0 y y = x .

En la región 2, para una y fija , los límites son y = 0 e y = 2 – x .

Ahora, nuestra integral de área tiene dos partes:

Sustituyendo los límites de la integración:

Como era de esperar, la respuesta es la misma.

Nuestra conclusión es que, aunque la respuesta sigue siendo la misma, un orden diferencial puede conducir a un cálculo más difícil.

Encontrar un volumen debajo de la superficie

Encontrar las áreas de las regiones delimitadas es una de las aplicaciones más básicas de las integrales dobles, pero pasar a una dimensión superior también nos permite explorar el volumen. Piénselo de esta manera: si la integral simple es el área debajo de una curva, entonces la integral doble se puede interpretar como el volumen debajo de una superficie a medida que agregamos una dimensión.

Deje que f ( x , y ) determine nuestra superficie. Por ejemplo,

f ( x , y ) es la altura sobre el plano x – y . Por ejemplo, en el origen, x = 0 e y = 0. Por tanto, en el origen, la altura de la superficie es 2.

Consideremos un cuadrado en el plano x – y . En particular,

Un diagrama de esta caja con techo inclinado se muestra como:

El volumen debajo de esta superficie es:

Primero, calculamos la integral interna:

Entonces, nuestra integral de volumen se convierte en:

Siempre que tengamos una superficie claramente definida, podemos construir una integral doble para calcular el volumen debajo de esa superficie.

Calcular la masa

Las integrales dobles también tienen aplicaciones interesantes en física. Empecemos por la masa. Si conocemos la densidad de la superficie, entonces podemos encontrar la masa. La densidad superficial σ tiene dimensiones de masa por unidad de área. Por lo tanto, el área multiplicada por la densidad de la superficie tiene dimensiones de masa M. Como integral doble:

Tenga en cuenta que la densidad de la superficie puede ser una función de xy / o y .

Calculando los momentos

El primer momento sobre el eje x se escribe como M x . Considera la masa a una distancia y del eje x . Como integral doble:

De manera similar, el primer momento sobre el eje y viene dado por:

Además de los primeros momentos, podemos calcular los segundos momentos I x e I y . Son útiles para determinar la energía cinética de rotación de un objeto. Los segundos momentos se denominan momentos de inercia. En particular,

Encontrar el centro de masa

Una vez que conocemos nuestra masa y momentos, podemos encontrar un equilibrio importante. El centro de masa es como un punto de equilibrio para un objeto. Podemos usar integrales dobles para calcular el centro de masa:

y

Determinemos la masa, los primeros momentos y el centro de masa del siguiente rectángulo:

Esta es una región definida por esto:

Debido a que la densidad es mayor en la parte de la mitad derecha, intuitivamente esperamos que el centro de masa esté entre x = 1 yx = 2. Además, hay tanta masa por encima de la línea y = ½ como por debajo. Hagamos los cálculos.

Primero, la masa viene dada por esto:

Los momentos se calculan de la siguiente manera. Para M x :

Para M y :

luego esto:

Ahora, para calcular el centro de masa:

Este resultado concuerda con nuestra intuición. El centro de masa del rectángulo corresponde a las coordenadas (1.1, ½) porque hay tanta masa arriba de la línea y = ½ como abajo, y la mitad derecha tiene una densidad más alta.

Resumen de la lección

Las integrales dobles involucran dos diferenciales (o variables), a diferencia de las integrales simples que involucran un diferencial (o variable). Esto conduce a la integración de un integrando que es en sí mismo una integral. La integral interna tiene sus límites definidos por curvas que delimitan la región. La integral exterior usa los límites numéricos de la región en lugar de curvas. Cambiar el orden de los diferenciales produce la misma respuesta, aunque la complejidad de la integración puede cambiar.

Las aplicaciones de la integral doble incluyen cálculos de lo siguiente:

• Zona
• Volumen
• Masa
• Primeros momentos
• Centro de masa
• Momentos de inercia

Rodrigo Ricardo Editor y fundador