Álgebra básica: reglas, ecuaciones y ejemplos

¿Qué es el álgebra básica?

El álgebra básica es el campo de las matemáticas que es un paso más abstracto que la aritmética. Recuerde que la aritmética es la manipulación de números mediante funciones matemáticas básicas. El álgebra introduce una variable , que representa un número desconocido o puede ser sustituida por un grupo completo de números. La aritmética plantea preguntas como 2 + 5 =? El álgebra, por otro lado, hace preguntas como: Si x + 5 = 7, ¿cuál es el valor de x ? En lugar de encontrar inmediatamente una suma básica, tenemos que hacer un trabajo adicional para encontrar una incógnita.

El álgebra es también un campo de entrada a las matemáticas. Una vez que domine los conceptos básicos, tendrá las herramientas para hablar sobre niveles superiores de matemáticas y la comprensión de antecedentes para desarrollar a medida que avanza. Esta lección contiene ejemplos de las tareas más comunes que se deben realizar en álgebra.

Sumar o restar términos semejantes

Para sumar o restar cualquier término en álgebra, sus términos deben ser términos semejantes , que tienen la misma variable y se elevan a la misma potencia. Si tiene términos semejantes, sume o reste los números adjuntos a la variable, llamados coeficientes . La variable en sí no se modifica. Veamos un ejemplo:

En el primer paso, como puede ver, reorganizamos nuestros términos para agruparlos por términos similares. Después de eso, reescribimos los términos semejantes para tener solo los coeficientes entre paréntesis y la variable afuera. Esto no es necesario, pero ayuda a mostrar las matemáticas que completamos en nuestro paso final para llegar a la respuesta de 2 x + y .

Este tipo de matemáticas se llama expresiones simplificadoras. Cuando miras una expresión algebraica como esta, es importante pensar en los signos + y – adjuntos a un término. Considera lo siguiente:

Cada vez que restamos un número de otro, podemos reorganizarlo como acabamos de hacer. El número que se resta se convierte en un número negativo, y el número del que estamos restando se suma al número negativo. Mientras mantenga los signos adjuntos a sus términos, no cambiará el valor de su ecuación.

Consideremos un ejemplo más:

Mire atentamente este ejemplo. Tenemos tres variables diferentes en las que pensar: n , x y nx . No podemos combinar ninguno de estos tres juntos, por lo que nos quedan tres términos al final. ¿Puedes ver cómo aplicamos los mismos pasos que antes para llegar a esta respuesta?

Multiplicar y dividir términos

Para multiplicar o dividir términos, no es necesario tener términos semejantes. Esto es diferente de la suma y la resta, ¡así que ten cuidado! Eche un vistazo al siguiente ejemplo de multiplicación básica con una variable:

Debemos multiplicar cada parte de la ecuación entre paréntesis por 2, y este ejemplo muestra que eso sucede en el segundo paso, donde ha pasado de ( x + 5) * 2 a (2 * x ) + (2 * 5). Después de multiplicar, nuestra respuesta final es un simple 2 x + 10.

Ahora que podemos hacer lo básico, hagámoslo un poco más difícil e incluyamos otra variable:

A pesar de tener dos variables esta vez, nuestro procedimiento es el mismo que en el primer ejemplo, en el que ( x + 3) * y se convierte en ( y * x ) + ( y * 3). En otras palabras, tenemos que multiplicar todo lo que está entre paréntesis por nuestra variable y , lo que nos deja como respuesta xy + 3 y . No podemos combinar nuestro xy con y , por lo que esta es la expresión simplificada.

Lo opuesto a la multiplicación es la división. Hay varias formas principales de expresar la división. El que probablemente le resulte familiar utiliza un símbolo que se parece a este ‘÷’ y lo coloca entre dos números. Por ejemplo: 4 ÷ 2 = 2. Sin embargo, podemos expresar esto sin el símbolo creando una fracción que represente lo mismo.

Cuando dividimos por un número, esto es lo mismo que multiplicar por su recíproco (o el número que podríamos hacer si “volteamos” una fracción). Esto significa que la multiplicación y la división son operaciones inversas entre sí. En nuestro ejemplo anterior, estamos dividiendo por 2. El recíproco de 2 es 1 sobre 2, o la mitad, por lo que podemos decir que estamos multiplicando por 1/2.

Quizás recuerdes haber estudiado fracciones antes que cuando tienes el mismo número en la parte superior e inferior de una fracción, todo es igual a 1. Esto puede ayudarte a simplificar expresiones algebraicas usando la división. Si tiene una variable en la parte superior e inferior de una fracción, se cancelan entre sí en su expresión.

Como puede ver en nuestro ejemplo anterior, 2 x dividido por 2 es igual a x , y 2 x dividido por x es igual a 2. Simple, ¿verdad? Puede aplicar esta misma idea a términos con muchas variables. Veamos dos ejemplos más, esta vez un poco más complicados:

Resolver para la variable

Aunque el álgebra es un campo amplio, un objetivo común es resolver una variable o encontrar el valor de una incógnita. Manipulamos expresiones algebraicas de la misma manera en ambos lados del signo igual para poder mover elementos hasta que podamos resolver nuestra variable aislándola en un lado. Usando todo lo que hemos aprendido, podemos averiguar que cuando 3 por x menos 10 es igual a 11, x es igual a 7.

En este ejemplo, sumamos 10 a ambos lados para aislar x a la izquierda. Luego dividimos ambos lados de la ecuación por 3 para tener una x simple . Si lo considera detenidamente, puede ver que deshacemos (o hacemos lo contrario) de cualquier cosa hecha ax para poder obtenerla por sí sola. ¡Intentemos un desafío final!

En este desafío, tenemos:

… Y eso finalmente nos muestra que x es igual a 10. ¡Simple!

Resumen de la lección

Revisemos…

El álgebra básica es el lenguaje que utiliza el campo de las matemáticas para hablar sobre el mundo abstracto de los números. Es el campo de las matemáticas el que es un paso más abstracto que la aritmética. La aritmética se enfoca solo en números reales definidos, pero el álgebra se enfoca en cómo funcionan los números como grupo y te permite hablar sobre cantidades desconocidas. Tu tarea principal en álgebra es manipular expresiones y ecuaciones usando las propiedades del álgebra y operaciones inversas para simplificar o resolver una cantidad desconocida.

Si está sumando o restando términos, sus términos deben ser términos semejantes , que tienen la misma variable y se elevan a la misma potencia. Y si tiene términos semejantes, sume o reste los números adjuntos a la variable, que se denominan coeficientes . Una vez que comprenda ese principio, puede comenzar a dividir o multiplicar términos algebraicos, ¡y estará listo para enfrentar cualquier ecuación!