Aplicaciones de triángulos similares

Usar triángulos similares

Sarah está afuera junto a un asta de bandera. El sol proyecta una sombra de 4 pies de Sarah y una sombra de 7 pies del asta de la bandera. Si Sarah mide 5 pies de altura, ¿qué altura tiene el asta de la bandera?

Sin una escalera y una vara de medir, puede pensar que resolver este problema es imposible. Sin embargo, encontrar la solución puede ser más fácil de lo que cree. Para este problema y otros similares, la resolución se convierte en una cuestión de triángulos similares .

En otra lección, aprendimos que los triángulos similares tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales y se pueden identificar rápidamente por la similitud de ángulo-ángulo (AA) , lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) teoremas. Para resolver con triángulos similares, usaremos la longitud de sus lados para establecer proporciones, lo que significa que crearemos fracciones para los lados correspondientes y los igualaremos entre sí. Comencemos nuestra práctica con algunos ejemplos básicos.

Resolver con triángulos similares

Ejemplos de triángulos ABE y ACD

Eche un vistazo al triángulo ABE y al triángulo ACD de arriba. A partir de la imagen, vemos que el ángulo B es congruente con el ángulo C y ángulo E es congruente con el ángulo D . Por lo tanto, estos triángulos son similares por AA. Establezcamos nuestras proporciones.

Al ir en el mismo orden para cada fracción, nuestra proporción inicial es 8/5 = x / 6. Para obtener x por sí mismo, debemos realizar una multiplicación cruzada, lo que nos dará 5 x = 48. Luego, dividiremos ambos lados por 5 para concluir que x = 9.6.

Ejemplos de triángulos MOQ y NOP

Aquí hay otro: esta vez, tenemos triángulo MOQ y triángulo NOP. Una vez más, según las marcas congruentes en la imagen de arriba, sabemos que estos dos triángulos son similares por AA. Entonces, comencemos con el problema.

En la figura, se nos dio la longitud del lado MO, lo que significa que también necesitamos la longitud del lado QO para la proporción. Pero no se nos dio esta información, por lo que debemos calcularla.

Para obtener la longitud de QO, debemos sumar QP + PO ya que estas dos piezas forman el segmento QO. Al hacer esto, sumamos 7 + 8 para ver que QO = 15. Ahora, estamos listos para nuestra proporción.

Yendo en el mismo orden, nuestra proporción es 7/15 = x / 18. Luego, cuando multiplicamos de forma cruzada, vemos que 15 x = 126. Una vez que dividimos ambos lados por 15, podemos concluir que x = 8.4.

Aplicaciones de triángulos similares

Ahora que hemos cubierto algunos de los conceptos básicos, hagamos algunos ejemplos del mundo real, comenzando con Sarah y el asta de la bandera. Recuerde que Sarah mide 5 pies de alto y tiene una sombra de 4 pies, y estamos buscando la altura del asta de la bandera, que tiene una sombra de 7 pies.

Diagrama de los triángulos formados por Sarah y el asta de la bandera

¿Ves los triángulos similares arriba? Sarah y el asta de la bandera son las patas verticales y las sombras son las patas horizontales. Conectando el extremo de las sombras a la parte superior de Sarah y el asta de la bandera, completan los triángulos. Dado que el sol proyecta ambas sombras y que Sarah está de pie junto al asta de la bandera, los ángulos superiores en ambos triángulos son congruentes. Además, dado que Sarah y el asta de la bandera son perpendiculares al suelo, cada triángulo tiene un ángulo recto. Por lo tanto, estos triángulos son similares según el teorema de similitud AA.

Ahora podemos escribir una proporción. Usando x para representar la altura del asta de la bandera, comenzamos con 5/4 = x / 7. Después de la multiplicación cruzada, tenemos 4 x = 35, y luego, al dividir ambos lados por 4, vemos que x = 8.75. Por lo tanto, el asta de la bandera tiene una altura de 8.75 pies.

Probemos con otra: Julie coloca un espejo en el suelo a 30 pies de distancia de la base de su edificio de oficinas y camina hacia atrás hasta que puede ver la parte superior del edificio en el espejo. Si Julie mide 5,5 pies de altura y mide 5 pies. lejos del espejo, ¿qué altura tiene el edificio?

Para este escenario, Julie y el edificio sirven como patas verticales de los triángulos y las distancias desde el espejo a Julie y el edificio son las patas horizontales. Los triángulos se completan conectando el espejo a la parte superior tanto de Julie como del edificio.

Diagrama de los triángulos formados por Julie y el edificio.

Dado que Julie puede ver la parte superior de su edificio a través del espejo, los dos ángulos formados en el espejo son congruentes. Además, Julie y su edificio de oficinas forman ángulos rectos con el suelo, lo que nos muestra que estos dos triángulos de arriba también son similares por AA. Ahora es el momento de la proporción.

Haciendo que x represente la altura del edificio, nuestra proporción inicial es x / 30 = 5.5 / 5. De la multiplicación cruzada, obtenemos 5 x = 165. Luego, al dividir ambos lados por 5, podemos concluir que x = 33. Por lo tanto, la altura del edificio de oficinas de Julie es 33 pies.

Resumen de la lección

En conclusión, se pueden aplicar triángulos similares para resolver problemas cotidianos del mundo real. Dado que los triángulos son similares, resolver con ellos requiere que establezcamos proporciones que comparen sus lados correspondientes. Después de ir en el mismo orden para establecer las proporciones, es necesario realizar una multiplicación cruzada para completar y resolver el problema.

Resultado de aprendizaje

Podrás aplicar el teorema de ángulo-ángulo de triángulos similares para resolver problemas del mundo real después de ver esta lección en video.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador