Definición de combinación lineal
¿Alguna vez has deseado poder hacer desaparecer una variable? Si es así, la combinación lineal puede ser para usted. La combinación lineal es el proceso de sumar dos ecuaciones algebraicas para eliminar una de las variables.
La suma o la resta se pueden utilizar para realizar una combinación lineal. La suma se usa cuando las dos ecuaciones tienen términos que son exactamente opuestos, y la resta se usa cuando las dos ecuaciones tienen términos que son iguales.
Las tres opciones básicas
Hay tres opciones básicas para la combinación lineal.
La primera opción es la más sencilla. Para esta opción, una de las variables ya tiene coeficientes que se cancelarán al sumar o restar. La primera opción permite una combinación lineal inmediata.
La segunda opción requiere multiplicar una de las ecuaciones por una constante para crear un término que se pueda eliminar mediante una combinación lineal.
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La tercera opción requiere multiplicar ambas ecuaciones por constantes para combinar las ecuaciones y eliminar una de las variables.
Ahora veremos ejemplos de cada una de estas opciones para tener una idea más clara de cómo funcionan.
La primera opción
La primera opción ya está en un formato que se puede cancelar. Un ejemplo es el sistema:
2 x + 2 y = 10
3 x – 2 y = 20
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Para resolver este sistema, primero debemos mirar para ver si alguno de los coeficientes y variables son exactamente iguales o opuestos exactos. 2 y y -2 y son exactamente opuestos.
Sumamos las ecuaciones combinando nuestros términos semejantes.
2 x + 3 x = 5 x
2 y + (-2) y = 0 y
10 + 20 = 30.
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Nuestra nueva ecuación combinada es 5 x = 30.
Luego, resolvemos para x dividiendo ambos lados de la ecuación entre 5. Nuestros cálculos revelan que x = 6.
Por último, podemos sustituir x por 6 en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyamos 6 en la primera ecuación.
2 (6) + 2 y = 10 se convierte en 12 + 2 y = 10
Restar 12 a ambos lados de la ecuación.
2 y = -2
Divide ambos lados de la ecuación por 2.
y = -1
Ahora hemos resuelto el sistema y la solución es (6, -1).
La segunda opción
La segunda opción requiere cambiar una de las ecuaciones. Resolvamos el sistema:
2 x + 3 y = 16
3 x + 6 y = 30
Primero, observe si alguno de los términos es exactamente el mismo o es exactamente opuesto. Ninguno de los términos se ajusta a ese criterio.
A continuación, observe si alguno de los términos son múltiplos entre sí. Observa que 6 y es un múltiplo de 3 y .
Multiplicamos cada término en la primera ecuación por 2.
4 x + 6 y = 32
Ahora tenemos términos que son exactamente iguales.
Usamos la resta para combinar la nueva ecuación con la segunda ecuación.
4 x – 3 x = x
6 y – (6) y = 0 y
32 – 30 = 2
Nuestra nueva ecuación combinada es x = 2.
Por último, podemos sustituir x por 2 en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyamos 2 en la primera ecuación.
2 (2) + 3 y = 16
4 + 3 y = 16
Restar 4 a ambos lados de la ecuación.
3 y = 12
Divide ambos lados de la ecuación por 3.
y = 4
Ahora hemos resuelto el sistema y la solución es (2, 4).
La tercera opción
La tercera opción requiere cambiar ambas ecuaciones. Veamos el sistema:
3 x + 5 y = 22
7 x – 2 y = 24
Primero, mire para ver si alguno de los coeficientes y variables son exactamente iguales o opuestos exactos. Ninguno de los coeficientes y variables se ajusta a ese criterio.
En segundo lugar, observe si alguno de los términos son múltiplos entre sí. Ninguno de los términos cumple con ese criterio.
En tercer lugar, observe si alguno de los coeficientes comparte un múltiplo. Tenga en cuenta que 3 y 7 cuota de 21 y 5 y 2 comparten 10. Podemos eliminar la x o y variable. Eliminemos la y .
Para hacer esto, debemos multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 5.
3 x + 5 y = 22
6 x + 10 y = 44
y
7 x – 2 y = 24
35 x – 10 y = 120
Ahora tenemos términos que son exactamente opuestos. Los opuestos exactos se pueden eliminar mediante la suma.
Sumamos las ecuaciones combinando nuestros términos semejantes.
6 x + 35 x = 41 x
10 y + (- 10) y = 0 y
44 + 120 = 164
Nuestra nueva ecuación combinada es 41 x = 164. Divide ambos lados de la ecuación por 41.
x = 4
Por último, podemos sustituir x por 4 en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyamos 4 en la primera ecuación.
3 (4) + 5 y = 22
12 + 5 y = 22
Restar 12 a ambos lados de la ecuación.
5 y = 10
Divide ambos lados de la ecuación entre 5.
y = 2
Ahora hemos resuelto el sistema y la solución es (4, 2).
Resumen de la lección
La combinación lineal es un proceso que se puede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales. La suma y la resta se pueden utilizar en el proceso. Hay tres opciones básicas para el proceso:
- Una de las variables ya tiene coeficientes que se cancelarán cuando se sumen o resten
- Requiere multiplicar una de las ecuaciones por una constante para crear un término que se pueda eliminar usando una combinación lineal
- Requiere multiplicar ambas ecuaciones por constantes para combinar las ecuaciones y eliminar una de las variables.
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