Cómo aproximar límites a partir de gráficos y tablas de datos

Limites

Veamos si podemos torcer un poco tu mente. Considere esto: una persona, Sandy, está compitiendo en una carrera de 100 metros. Cuando el arma se dispara, Sandy despega. Después de cierto tiempo, ha competido la mitad de la distancia, por lo que ha recorrido 50 metros. Después de un poco más de tiempo, ha completado la mitad de la distancia restante, por lo que ha recorrido 75 metros. Después de un poco más de tiempo, ha completado la mitad de la distancia restante, por lo que ha recorrido 87,5 metros y este patrón continúa. Sigue completando la mitad de la distancia restante.

Bueno, pensemos en esto. Si está reduciendo constantemente a la mitad la distancia restante, ¿cómo podrá llegar a la meta? Observe la siguiente tabla:

Vemos que si sigue reduciendo a la mitad la distancia restante, entonces su distancia total parece acercarse a la distancia de 100 metros, pero en realidad nunca la alcanza. Mente. Retorcido.

Por supuesto, sabemos que, eventualmente, llegará a la meta, ¡con suerte en primer lugar! Sin embargo, cuando pensamos en ella acercando continuamente la mitad de la distancia restante a la línea de meta, no parece que alguna vez la alcance. En matemáticas, llamamos a esto una paradoja, y la respuesta se encuentra en el concepto de límites.

En matemáticas, los límites son valores a los que se acerca una función o secuencia cuando la entrada se acerca a algún valor.

Notación de límite

En la carrera de Sandy, su distancia total se acerca a 100 a medida que el número de veces que la distancia restante se reduce a la mitad aumenta cada vez más, o se acerca al infinito.

Hay muchas formas diferentes de calcular límites, pero en este momento, estamos interesados ​​en aproximar límites usando gráficos y tablas de datos. Acabamos de ver un ejemplo de este último, así que comencemos con eso.

Aproximación de límites mediante tablas de datos

Al observar la tabla que mostraba la distancia de Sandy, pudimos ver que su distancia total se acercaba a 100. Eso nos dice que si representamos su distancia total con la función f ( x ), donde x es el número de veces que la distancia restante es reducido a la mitad, entonces el límite de f ( x ), cuando x se acerca al infinito, es 100. ¡Eso es todo lo que hay para aproximar límites usando tablas de datos!

Básicamente, para aproximar el límite de una función f ( x ), cuando x se acerca a a , usando tablas de datos, miramos la tabla para ver a qué parecen acercarse los valores de la función a medida que x se acerca cada vez más a a . Por ejemplo, suponga que se está probando un medicamento para ver qué tan rápido sale del cuerpo. Los investigadores del proyecto toman medidas para ver qué cantidad de medicamento queda en el torrente sanguíneo del paciente después de cada hora. Sin embargo, estaban en un descanso para almorzar a las 4 horas, por lo que se perdieron esa lectura. Registran los datos que obtuvieron en una tabla como se muestra:

Afortunadamente, podemos recurrir a los límites para aproximar la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo después de 4 horas. Básicamente, si f ( x ) es la función que representa la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo después de x horas, queremos encontrar el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a 4. En la tabla, vemos que el valor de la función es entre 2.109 y 1.891 después de 4 horas. Una forma sencilla de aproximar esto es encontrar el promedio de estos dos números.

Vemos que el promedio es 2, por lo que parece que el límite de f ( x ), cuando x se acerca a 4, es 2, por lo que hay aproximadamente 2 miligramos de medicamento en el torrente sanguíneo después de 4 horas.

Aproximación de límites mediante gráficos

Veamos otra forma de aproximar un límite, y es mediante el uso de gráficos. Esta es otra forma bastante sencilla de aproximar un límite. Para aproximar el límite de una función f ( x ), cuando x se acerca a a , todo lo que tenemos que hacer es observar la gráfica de f ( x ) donde x = a , y encontrar el valor y correspondiente aproximado (o función valor).

Por ejemplo, considere nuevamente nuestro ejemplo de medicación. Según los datos recopilados, los resultados se muestran gráficamente.

Observe que hay un agujero donde x = 4. Eso se debe a que falta esa lectura específica. Para aproximar el límite de f ( x ), cuando x se acerca a 4, simplemente encontramos el valor de y aproximado , donde x = 4 en la gráfica.

Vemos de nuevo que parece que el valor de y es aproximadamente 2, así que una vez más, tenemos que el límite de f ( x ), cuando x se acerca a 4 es 2. Por lo tanto, después de 4 horas, hay alrededor de 2 miligramos de medicación en el torrente sanguíneo. Bastante fácil, ¿eh?

Resumen de la lección

En matemáticas, los límites son valores a los que se acerca una función o secuencia cuando la entrada se acerca a algún valor.

Podemos aproximar límites usando tablas de datos y gráficos. Para usar una tabla de datos para aproximar el límite de una función, f ( x ), cuando x se acerca a a , buscamos patrones en la tabla a medida que x se acerca más y más a a . De manera similar, para usar una gráfica para aproximar el límite de una función, f ( x ), cuando x se acerca a a , observamos la gráfica de f ( x ) donde x = a , y encontramos el valor de y correspondiente aproximado (o función valor).

Ambos métodos son bastante simples y sencillos. Aunque hay procesos mucho más complicados para encontrar límites, estos dos métodos resultan bastante útiles para una solución simple y una respuesta aproximada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador