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Cómo calcular los volúmenes de formas básicas

Publicado el 22 septiembre, 2020

Clavija cuadrada en un agujero cuadrado

Dediquemos unos minutos a revisar los volúmenes de las formas . Estos se vuelven bastante importantes en los problemas de cálculo porque a menudo usamos el cálculo para hacer cosas como optimizar áreas, optimizar volúmenes; ya sabes, ¿cuánto champú debes poner en una botella de champú para ganar la mayor cantidad de dinero? – ese tipo de cosas. También me gusta llamar a esto el problema de la clavija cuadrada en el agujero cuadrado. Y esto se debe a cómo clasifico las formas.

Formas 2D


Fórmula para encontrar el área de triángulos
Área de triángulo 2D

Comencemos con formas 2D . Entonces, ahora en lugar de mirar el volumen, miremos el área . Entonces, si tienes un cuadrado con un lado de longitud s , entonces el área del cuadrado es s 2 . El perímetro , que es la longitud que bordea la forma, es 4 * s . Ahora, un cuadrado es solo un tipo elegante de rectángulo. Un rectángulo tiene algo de altura, h , y algo de ancho, w , por lo que el área de un rectángulo es wh – el ancho por la altura. Puedes encontrar la longitud de esta línea que rodea el rectángulo, o el perímetro, como 2 * w + 2 * h porque estamos sumando w+ h + w + h cuando rodeamos el rectángulo.

Ahora, la segunda de nuestra clavija cuadrada en el área del agujero cuadrado es el triángulo. Entonces, echemos un vistazo a dos tipos diferentes de triángulos. Tenemos a este tipo aquí y tenemos a este tipo aquí. Ahora ambos tienen una base que es del ancho de la parte inferior del triángulo, y siempre estará a lo largo de algún lado. Vamos a llamar a eso b . Ahora los triángulos también tienen algo de altura. Es muy importante que la altura se mida perpendicular a la base. Entonces, para algunos triángulos, como este aquí, necesitamos medir la altura realmente fuera de la base porque necesitamos que esta altura esté recta desde la base, perpendicular a la base. En estos casos, el área es de solo 1/2 bh . Ahora, sé que todo esto es una revisión, así que gané ‘

Ahora, el último de mis tres tipos de formas en mi clavija cuadrada, el agujero cuadrado es el círculo. Por lo general, clasificamos un círculo por algún radio , r , medido desde el centro del círculo hasta el borde del círculo. Entonces, este radio es el mismo sin importar en qué parte del círculo lo midas. El área de un círculo como este es pi r 2 .

Formas 3D


Las esferas son formas 3D que no tienen las mismas dimensiones de arriba a abajo.
Esfera en rodajas

Bueno. Clavija cuadrada – agujero cuadrado. Clavija rectangular – agujero rectangular. Clavija triangular – agujero triangular. Clavija circular – agujero circular. Bueno, está bien, pero todas son formas 3D. Así que esto nos lleva a mis dos formas de clasificar formas 3D.

La primera, formas que son iguales de arriba a abajo. Entonces, aquí vamos con las clavijas. Tenemos una lata. Entonces, una lata encajará en este orificio circular y encajará igual, sin importar si es el comienzo o el final de la lata. No hay diferencia. Es solo un cilindro. Un cubo es otro ejemplo. Entonces, aquí la parte inferior del cubo, esta sección transversal aquí, se ve exactamente igual que la parte superior. Prisma: lo mismo, excepto que ahora su sección transversal parece un triángulo.

La segunda clasificación de las formas son las formas que no son iguales de arriba a abajo. Entonces, estas son cosas como una pirámide cuadrada, donde tenemos un cuadrado en la parte inferior y un punto en la parte superior, o una pirámide regular con un triángulo en la parte inferior y un punto en la parte superior. Si pongo la pirámide cuadrada en mi agujero, será un cuadrado en la parte inferior, pero en la parte superior será solo un pequeño punto que atraviesa ese agujero. Lo mismo ocurre con la pirámide triangular. Una esfera es otro ejemplo. Si cortas una esfera en la parte superior, obtendrás un pequeño círculo diminuto. En la parte superior no obtendrás ningún círculo. Simplemente va a ser un punto. En el medio, el círculo va a ser grande. Así que imagina que estás tomando una cebolla, y si cortas hacia abajo, perpendicular a la tabla de cortar,


Cómo encontrar el volumen de un cilindro
Volumen del cilindro

Volumen de formas 3D

Entonces, ¿qué significa esto en términos de encontrar el volumen? Bueno, para cualquier cosa que tenga la misma forma en la parte superior e inferior y hasta el final, como la lata, el cubo y el prisma, el volumen es solo la altura por el área de la base. Entonces, aquí tenemos nuestra lata. Tenemos altura. El área de la base es simplemente pi r 2 . Entonces, ahí está mi base. Entonces, el volumen es h ( pi r 2 ). Digamos que ahora tengo esta caja, esta especie de baúl, con una base cuadrada. Así pues, ahora mi área de la base es s 2 porque es el área de un cuadrado, y el volumen de mi va a ser el área de la base, es 2 veces h . Entonces mi volumen es h ( s2 ). Entonces, puede hacer esto para cualquier cosa donde la sección transversal sea la misma de arriba a abajo. Digamos que el área de la base es una E. Parece una E grande. Lo mismo. El área de la base multiplicada por la altura le dará el volumen.

Entonces, ¿qué pasa con las cosas que cambian? Veamos algunos de esos. Por ejemplo, una esfera: el volumen de una esfera es 4/3 pi r 3 . Un hemisferio es solo la mitad de una esfera, por lo que el volumen de un hemisferio es 1/2 (4/3 pi r 3 ), que también es 2/3 pi r 3 .

Las pirámides y los conos se tratan de manera muy similar entre sí. Entonces, cada uno tiene una altura y el volumen es el h / 3 (área de la base). Puede recordar esto para ambos. Entonces, el área de la base de un cono, obviamente, es el área de este círculo, y para una pirámide será, en este caso, un triángulo, a veces un cuadrado, pero esa será el área de la base. .


Cómo encontrar el volumen de pirámides y conos.
Volumen del cono piramidal

Resumen de la lección

Entonces, recapitulemos. Cuando intente encontrar el volumen de algo, recuerde si es una clavija cuadrada en un agujero cuadrado. Si la sección transversal de la base es la misma que la sección transversal de todo el volumen, entonces su volumen es el área de la base, o una de esas secciones transversales, multiplicada por la altura. Si no es lo mismo, debe recordar una de las otras reglas. Por ejemplo, para los conos, su volumen es h / 3 (área de base). Para los círculos, recuerde la ecuación para el volumen de una esfera: 4/3 pi r 3 .

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