Cómo encontrar el centro de masa de un cono

Colocación del cono

El centro de masa de un objeto es el punto alrededor del cual se distribuye por igual toda la masa del objeto. Es el punto donde se puede considerar que toda la masa del objeto está concentrada.

Si miramos un cono que descansa sobre una superficie plana con su vértice en el aire, podemos hacer afirmaciones razonables sobre la ubicación del centro de masa.

Cono descansando sobre una superficie plana

• Simetría: esperamos que el centro de masa esté a lo largo de una línea desde el centro de la base hasta el vértice. A esta línea la llamaremos línea de simetría .
• Forma: hay más masa más cerca de la base. Esperamos que el centro de masa esté más cerca de la base que del vértice.

Sin mostrar los detalles, si trabajáramos este problema con el cono en esta posición vertical, obtendríamos el resultado correcto pero la integral sería más complicada de lo que tiene que ser. La forma en que coloquemos el cono conducirá a una matemática más simple. Colocaremos la línea de simetría a lo largo del eje x y colocaremos el vértice del cono en el origen.

Línea de simetría a lo largo del eje x

La ecuación para el centro de masa, COM, a lo largo del eje x con respecto al origen es

Encontrar el centro de masa

Paso 1: Escribe el elemento de masa en términos de un elemento de volumen.

La masa, M , es el producto de la densidad de masa, ρ, veces el volumen, V . Por tanto, el elemento de masa, d M es

Paso 2: Sustituye d M en la ecuación COM.

Teniendo una expresión para d M sustituimos

Para una densidad uniforme, ρ no depende de la posición y es una constante que se toma fuera de la integral. La ρ en el numerador se cancela con la ρ en el denominador:

Paso 3: Reemplaza el denominador con el volumen de un cono.

El denominador es la integral de d V que es igual al volumen total. Para un cono de altura, h , y base circular cuyo radio es R , el volumen total es

Tenga en cuenta que estamos usando este resultado de «volumen total de un cono» sin derivarlo.

Paso 4: Sustituye y simplifica la ecuación COM.

Sustituye la expresión del volumen de un cono en el denominador de la ecuación COM.

Reordena la expresión para que el 3 esté en el numerador.

Paso 5: Desarrolle una expresión para el elemento de volumen, d V

Si miramos a lo largo del eje z hacia el origen, vemos una forma bidimensional en el plano x – y .

El radio del círculo en la base es R . La altura del cono es h . En ángulo recto con el eje x , tomamos un corte delgado de espesor d x . Mirando hacia abajo el eje x vemos el corte como un círculo con radio r .

Slice es un círculo con radio r

El radio de corte depende de x . Cuando x = 0, el radio de la rebanada es 0. Cuando x = h, el radio de la rebanada es R . Así,

Puedes pensar en esto como la ecuación de una línea con pendiente R / h .

El volumen del corte es el área del corte, π r 2 , multiplicado por el ancho del corte, d x . Así,

Paso 6: Simplifica x d V

Ahora trabajamos en la simplificación de x d V , que necesitaremos integrar.

Sustituir d V :

Reemplazar r :

Expande la porción cuadrada:

Multiplica la x por x 2 :

Paso 7: Resuelve la integral.

Ahora podemos hacer la integral. Nos dejamos con

Sustituir x d V :

Trae todos los términos constantes fuera de la integral con

Simplifique cancelando e integre x 3 de 0 a h . Entonces obtenemos:

El anti-derivado de x 3 es x 4 /4.

Sustituye los límites de integración, dándote:

Simplifica y obtenemos:

La solución final

Definitivamente fue mucho. El centro de masa de un cono se encuentra a lo largo de una línea. Esta línea es perpendicular a la base y llega al ápice. El centro de masa está a una distancia de 3/4 de la altura del cono con respecto al ápice. Esto significa que el centro de masa está a 1/4 de la altura desde la base. Esto confirma la suposición basada en la forma del cono: el centro de masa está más cerca de la base que del ápice.

Tenga en cuenta el centro de gravedad no depende de la radio de la base, R . Por lo tanto, el tamaño de la base no afecta la ubicación del centro de masa.

Resumen de la lección

Así que repasemos todo lo que hemos aprendido. Primero aprendimos que el centro de masa de un objeto es el punto alrededor del cual toda la masa del objeto se distribuye por igual y que es el punto donde se puede considerar que toda la masa del objeto está concentrada. Cuando miramos un cono que descansa sobre una superficie plana con su vértice apuntando hacia arriba, podemos esperar que el centro de masa esté a lo largo de la línea de simetría , que es una línea desde el centro de la base hasta el vértice, y que había más masa más cerca de la base del cono. También aprendimos que para encontrar el centro de masa de un cono, debes seguir los siguientes siete pasos:

1. Escribe el elemento de masa en términos de un elemento de volumen.
2. Sustituye dM en la ecuación COM.
3. Reemplaza el denominador con el volumen de un cono.
4. Sustituye y simplifica la ecuación COM.
5. Desarrolle una expresión para el elemento de volumen, dV .
6. Simplifica xdV .
7. Resuelve la integral.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador