Cómo encontrar el período de las funciones coseno

Pasos para resolver

La función coseno es una función trigonométrica que se llama periódica. En matemáticas, una función periódica es una función que se repite una y otra vez para siempre en ambas direcciones. Observe la función coseno básica f ( x ) = cos ( x ).

Función coseno periódica

Si observamos la función coseno de x = 0 ax = 2π, tenemos un intervalo de la gráfica que se repite una y otra vez en ambas direcciones, por lo que podemos ver por qué la función coseno es una función periódica.

Este intervalo de x = 0 ax = 2π de la gráfica de f ( x ) = cos ( x ) se llama el período de la función. El período de una función periódica es el intervalo de valores de x en el que se encuentra el ciclo de la gráfica que se repite en ambas direcciones. Por lo tanto, en el caso de la función coseno básica, f ( x ) = cos ( x ), el período es 2π.

¿No sería fácil si ese fuera el final de la historia? Fácil, sí, ¡pero mucho menos interesante! Verá, la función coseno adopta muchas formas, expresadas como:

f ( x ) = A cos ( B x + C ) + D

donde A , B , C y D son números y los períodos de estas funciones coseno difieren. Afortunadamente, encontrar el período de estas funciones sigue siendo bastante simple. Todo depende del valor de B en la función f ( x ) = A cos ( B x + C ) + D , donde B es el coeficiente de x . Esto se debe a que el período de esta función es 2π / | B |.

Para encontrar el período de f ( x ) = A cos ( B x + C ) + D , seguimos estos pasos:

1. Identificar el coeficiente de x como B .
2. Enchufe B en 2π / | B |. Este es el período de la función.

Consideremos ahora un ejemplo. Suponga que queremos encontrar el período de la función g ( x ) = 3cos (8 x + 1). Lo primero que haríamos es encontrar el coeficiente de x , que es 8, y tomar B = 8. Luego, reemplazamos B = 8 en la fórmula del período. Terminamos obteniendo:

Periodo = 2π / | B | = 2π / | 8 | = 2π / 8 = π / 4

Vemos que el período de la función g ( x ) = 3cos (8 x + 1) es π / 4.

Solicitud

Debido a la naturaleza de la función coseno, se puede utilizar para modelar cualquier cosa en el mundo real que tenga un movimiento armónico simple, donde el movimiento armónico simple se describe como un movimiento hacia adelante y hacia atrás de manera constante sin fricción involucrada. Algunos ejemplos de esto podrían ser un péndulo en un reloj, resortes o corrientes alternas.

Por ejemplo, suponga que cuelga un resorte del techo que está considerando usar para colgar una planta en maceta. Sin la planta, cuando comprime el resorte 2 pulgadas y lo suelta, su movimiento se puede modelar mediante la siguiente función de coseno:

• y = 2 cos ((3 π / 2) x )

donde y es el desplazamiento del final del resorte y x es el tiempo en segundos.

Problema

En este escenario, ¿ve lo que representaría el período de la función? El período representa un ciclo de la función coseno que se repite una y otra vez. Por lo tanto, en este ejemplo, el período representaría un ciclo del resorte que va desde su posición más alta, o más comprimida, a su posición más baja o más estirada, y luego de regreso a su posición más alta. ¿Es eso lo que estabas pensando? ¡Definitivamente estás entendiendo esto, juego de palabras!

Bien, busquemos el período de esta función. Todo lo que tenemos que hacer es seguir los pasos de la función. Primero, identificamos B en la función, que es el coeficiente de x . En este caso, el coeficiente de x es 3 π / 2, entonces B = 3 π / 2. Ahora, simplemente lo conectamos a nuestra fórmula de período.

Vemos que el período de la función es 4/3. Esto nos dice que se necesitan 4/3 o 1 1/3 segundos para que el resorte pase por un ciclo de rebote. Es posible que desee usar algo un poco más estable para colgar su planta, ¡pero entiende la idea!

Como podemos ver, la función coseno y su período pueden aparecer muy fácilmente en el mundo que nos rodea, por lo que es una buena idea guardar este conocimiento recién adquirido en nuestras cajas de herramientas matemáticas para usarlo cuando lo necesitemos.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a revisar la información importante con respecto a lo que hemos aprendido sobre cómo encontrar el período de las funciones coseno. Primero, aprendimos que la función coseno es una función trigonométrica que se llama periódica y que, en matemáticas, una función periódica es una función que se repite una y otra vez para siempre en ambas direcciones. La función coseno se expresa como f ( x ) = A cos ( B x + C ) + D donde A , B , C y D son números y los períodos de estas funciones coseno difieren.

También aprendimos los dos pasos simples para encontrar el período , o el intervalo entre dos puntos en la gráfica, de la función coseno, que son los siguientes:

1. Identificar el coeficiente de x como B .
2. Enchufe B en 2π / | B |. Este es el período de la función.

Con este conocimiento en la mano, no solo deberíamos ser capaces de resolver las funciones del coseno con facilidad, sino también reconocerlas en el mundo que nos rodea.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador