Cómo evaluar funciones compuestas

Pintura en clase de arte

Como parte de un proyecto escolar, Ashley y Brad estaban pintando carteles. Los carteles eran blancos. Ashley tenía pintura roja y pintura amarilla. Brad tenía pintura azul. Cada uno pintó muchos letreros. Después de un tiempo, estaban cansados ​​de pintar solos, por lo que comenzaron a pintar en equipo. Ashley le entregó un cartel blanco a Brad y él lo pintó de azul. Para el siguiente póster, Ashley lo pintó de rojo y se lo entregó rápidamente a Brad. Cuando Brad agregó pintura azul a la pintura roja, el cartel se volvió morado. Ashley pintó el siguiente cartel de amarillo y se lo dio a Brad. Cuando Brad agregó su pintura azul, el cartel se volvió verde.

Cuando cada persona estaba pintando un color, obtenían la misma respuesta. Pero cuando Ashley pintó primero y Brad pintó segundo, el póster final podría tener un color completamente diferente dependiendo de los colores que usaron.

Definición de funciones compuestas

En matemáticas tenemos fórmulas especiales, llamadas funciones, que nos dan una respuesta cuando ingresamos un número específico. Sin embargo, al igual que las pinturas, podemos unir funciones de modo que una función nos dé una respuesta diferente dependiendo de la respuesta de otra. Las funciones compuestas utilizan la salida de una función como entrada de otra. Esto es como una función dentro de una función.

Escribir funciones compuestas

Veamos dos funciones normales: f ( x ) = x + 2 y g ( x ) = 3 x . Si quisiéramos hacer una función compuesta, tendríamos que poner una función dentro de la otra. Para hacer una función compuesta donde ponemos g ( x ) dentro de la función f ( x ), podemos escribirla f ( g ( x )).

Observe que en lugar de simplemente poner una x en la función, sustituimos la función g ( x ) completa. Cuando hacemos eso, tenemos f ( g ( x )) = (3 x ) + 2. A la izquierda, verá que la función g está dentro de la función f . A la derecha, verá que en lugar de x sustituimos 3 x .

También podemos hacer esto de otras formas. Podríamos sustituir la función f dentro de la función g . Cuando pones la función f dentro de la función g , obtienes g ( f ( x )) = 3 ( x +2).

Incluso puede hacer una función compuesta de sí mismo. Podemos hacer f ( f ( x )) = ( x +2) +2 o g ( g ( x )) = 3 (3 x ). En cada caso, tomamos la función completa y la sustituimos donde vemos x .

Evaluación de funciones compuestas

Ahora que hemos creado funciones compuestas, necesitamos saber cómo evaluarlas. Si nos pidieran que evaluemos f ( g (5)), podríamos hacerlo de dos maneras. Podríamos sustituir el 5 en la función compuesta. f ( g (5)) = 3 * 5 + 2

Para evaluar esto, primero hacemos la multiplicación, dejándonos f ( g (5)) = 15 + 2. Esto se simplifica a 17.

Otra forma de hacer esto es evaluar las funciones por separado. Recuerde, estamos evaluando las funciones de adentro hacia afuera.

Evaluamos g (5) = 3 * 5.

Esto se simplifica a g (5) = 15. Luego tomamos esa respuesta, 15, y la sustituimos en la función f .

f (15) = 15 + 2

f (15) = 17

De cualquier manera, usamos la respuesta de una función dentro de otra función. Usarlos juntos es cómo evaluamos las funciones compuestas.

Resumen de funciones compuestas

Una función matemática siempre actuará de la misma manera, pero se pueden combinar varias funciones como funciones compuestas para que una función dependa de la otra.

¿Recuerdas a Ashley y Brad? Era importante el cartel de color que Ashley le entregó a Brad, porque eso determinaría de qué color era al final. Es como una reacción en cadena: lo que sucede en la primera función determina lo que sucede en la otra. Solo recuerde, la clave es trabajar de adentro hacia afuera. Evalúe primero la función interior. Toma esa respuesta como punto de partida para la siguiente función. Con funciones compuestas, podemos tomar dos funciones ordinarias y obtener algunas respuestas extraordinarias.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine esta lección, debe confiar en su capacidad para definir, escribir y evaluar funciones compuestas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador