Cómo evaluar logaritmos

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Revisión rápida de la forma logarítmica

Aprendimos que los logaritmos son la operación inversa de exponenciales y nos dan una forma de resolver ecuaciones exponenciales. Cuando estábamos tratando de averiguar qué tan lejos será el futuro antes de que haya 200 mil millones de teléfonos celulares, nos quedamos atrapados con la ecuación 2 x = 34,359,738,368. Ahí es donde entró el registro, porque la respuesta a nuestra pregunta, ‘¿qué exponente convierte 2 en 34, 359,738,368?’ es exactamente lo que es log 2 (34,359,738,368). Decidimos que el log 2 de 34,359,738,368 era 35, porque 2 35 = 34,359,738,368. Lo que ves son dos formas diferentes de escribir exactamente lo mismo; Podría escribir esta ecuación en forma logarítmica , que es log b ( y) = x , o podría escribirlo en forma exponencial , que es b x = y . Y ambas formas son solo dos formas diferentes de decir lo mismo.


La forma exponencial se puede usar para verificar su trabajo, pero la respuesta real es 3
Forma logarítmica exponencial

Ahora, muchos estudiantes se asustan cuando ven un registro , porque es nuevo, y no están acostumbrados a él, y piensan que significa multiplicar el registro por 5, o elevar 5 a la 25 potencia… pero ninguna de las dos de estos son realmente ciertos. El pequeño 5 debajo del registro es un ‘subíndice’ y va con el registro. Cada registro tendrá uno de estos, y nos dice qué tipo de registro estamos haciendo.

Problema # 1

En este ejemplo, tomamos la base logarítmica 5 de 25 , por lo que tomamos el logaritmo 5 de este número. Por lo tanto, se nos pregunta, ¿ 5 elevado a qué potencia es igual a 25? La respuesta es, por supuesto, 2. Entonces, la respuesta a nuestro logaritmo es simplemente 2, porque 5 2 = 25 .

Problema # 2

Probemos con otro, log 3 (27) =? La respuesta es el exponente que convertirá la base del registro en el número del que estamos tomando el registro. Por lo tanto, la respuesta es 3, porque 3 3 = 27 . Ahora, escribir la forma exponencial de estos problemas puede ser una forma de probar su respuesta, pero no es la respuesta en sí. La respuesta es solo el número que obtenemos, y la forma exponencial es una forma de decir por qué esa respuesta es la respuesta que es, o una forma de verificar su trabajo.

Problema # 3

Otro ejemplo: ¿Qué tal log 9 (1) =? ¿Qué exponente convierte 9 en 1? Bueno, debes recordar la propiedad del exponente 0: recuerda que cualquier valor elevado a 0 te da 1, por lo que 0 es el exponente que convierte 9 en 1, por lo que la respuesta a esta es solo 0.

Problema # 4


En forma abreviada, log10 se escribe como log y el log natural se escribe como ln
log10 y log natural

O, finalmente, ¿qué pasa con log 2 (1/8) =? Para este, tendrás que recordar la propiedad del exponente negativo. Los exponentes negativos nos dan fracciones, y como tengo que convertir 2 en 8, esa es la tercera potencia, porque 2 * 2 * 2 = 8, entonces 2 (-3) = 1/8, y por lo tanto la respuesta a log 2 ( 1/8) es, simplemente, -3.

Log Base 10 y Natural Log

Como puede ver, hay todo tipo de registros. log 2 , log 8 , log 55 , log π … lo que queramos. Pero hay dos registros que se utilizan con más frecuencia: log 10 y log e . Ahora, al igual que usamos π para significar 3.14159 y así sucesivamente , usamos la letra e para significar 2.718281 y así sucesivamente. Este se llama base natural . Realmente no será útil hasta el cálculo, así que por ahora, solo sabremos que existe y que es aproximadamente 2.7.

Entonces, debido a que estos dos registros se usan tanto, a los matemáticos se les ocurrió una forma abreviada de escribirlos. Log 10 se convirtió en simple log y log e se convirtió en el log natural , abreviado como ln . Entonces, si ve un problema que dice log100, eso realmente significa log 10 (100), y si ve un problema que dice ln5, eso realmente solo significa log e (5).

Cambio de fórmula base

Una última cosa. En algún momento se nos pedirá que evaluemos un registro que no tiene una respuesta de número entero. Diga log 2 (5). Bueno, dado que 2 2 = 4 y 2 3 = 8, y me preguntan 2 a lo que es 5, no estoy muy seguro. Está en algún lugar entre 2 y 3, pero probablemente esté más cerca de 2, no lo sé, ¿quizás 2.1? Bueno, realmente no lo sabemos, así que nos gustaría poder usar nuestra calculadora para esto. Pero, la mayoría de las calculadoras solo tienen botones log 10 (log) y log e (ln), entonces, ¿cómo podemos hacer log 2 ?


La fórmula del cambio de base
Cambio de fórmula base

Para circunstancias como esta, podemos usar lo que se llama fórmula de cambio de base . La fórmula de cambio de base le dice que log b ( a ) = log z ( a ) / log z ( b ) , lo que básicamente significa que podemos cambiar el registro a una base diferente; podemos elegir a qué base cambiarlo y simplemente divide el logaritmo de a con el logaritmo de b. Entonces, podemos evaluar log 2 (5) cambiando la base de 2 a un botón que está en mi calculadora, tal vez 10. Eso nos permite decir que log 2 (5) es igual a log 10 (5) / log 10(2) – Puedo usar los botones de mi calculadora para encontrar que en realidad es aproximadamente 2.3. ¡Eso no estaba muy lejos!

Resumen de la lección

Para repasar: la forma logarítmica ( log b ( y ) = x ) y la forma exponencial ( b x = y ) son solo dos formas de escribir lo mismo. Podemos usar ese conocimiento para evaluar logaritmos pensando, ‘¿cuál es el exponente que convertiría la base del logaritmo en el número del que estamos tomando el logaritmo?’ Si el registro no tiene una solución de número entero, entonces podemos usar la fórmula de cambio de base para estimarlo con nuestra calculadora. Los dos botones de registro que se encuentran en la mayoría de las calculadoras son el registro 10 , que es solo el botón de registro sin número ( registro ), y el registro e, que es el botón que solo dice ln .