Ejemplo introductorio
Supongamos que queremos evaluar el siguiente límite.
Al sustituir directamente x = 0, se obtiene la forma indeterminada .
Esto no significa necesariamente que el límite sea uno. Más bien, no implica nada en absoluto, y significa que debemos encontrar otro método para evaluar el límite. Entonces, alternativamente, proponemos tomar el logaritmo natural del límite e intercambiar los operadores log y limit. Hacemos esto de la siguiente manera. Definir
Luego, a ciegas hacemos el siguiente intercambio entre los operadores log y limit.
(2) se deriva de un teorema más general, y lo haremos referencia formalmente en la siguiente sección. Por ahora, supongamos que se permite el movimiento realizado en (2). Por lo tanto, nuestra próxima tarea es evaluar el límite en el extremo derecho de (2). Al conectar directamente x = 0, obtenemos
y esta es otra forma indeterminada. Sin embargo, al utilizar la regla de L’Hospital (como también aclaramos en la siguiente sección) encontramos que
La exponenciación de (3) da el límite que nos interesa encontrar:
Los teoremas clave
En el ejemplo introductorio, usamos dos teoremas. El primero implica una composición de dos funciones.
Teorema: límite de una composición de funciones
Suponga que tenemos las siguientes condiciones en las funciones de valor real f y g :
Entonces, bajo estas tres condiciones, se cumple lo siguiente.
Si f es continua en L , entonces se puede descartar la condición 3 del teorema antes mencionado. Condición 3 significa que hay un intervalo de cerca de un donde g (x) no es igual al límite L . Además, ni a ni L tienen que ser finitos en el enunciado del teorema.
Con referencia al ejemplo inicial dado en (1), vemos que al aplicar el teorema del límite de funciones de composición ,
y
Además, al usar la diferenciación o simplemente al mirar la gráfica de g , queda claro que
y esto significa que se cumple la condición (3) del teorema. Aunque no es convencional, asumimos que la condición (1) también es válida para este caso; después de todo, es este límite lo que buscamos. Finalmente la condición (2) es válida, ya que
necesariamente existe. (aunque posiblemente infinito)
Enunciamos ahora el otro teorema necesario para la evaluación del límite logarítmico: la regla de L’Hospital .
Teorema: regla de L’Hospital
Suponga que las funciones f y g satisfacen las siguientes condiciones.
Entonces,
Regresando a (3), se puede verificar fácilmente que se cumplen las condiciones de la regla de L’Hospital para las funciones de numerador y denominador.
En resumen, si usamos el teorema del límite de composiciones y luego seguimos este paso con la regla de L’Hospital, entonces tenemos un algoritmo para calcular cualquier límite tomando la forma
donde este límite produce cualquiera de las tres siguientes formas indeterminadas.
Ejemplos
Ejemplo 1
Evalúe el siguiente límite.
Primero tenga en cuenta que si conectamos directamente x = 0, obtenemos la forma indeterminada
Por tanto, debemos utilizar otro método. Intentemos ahora usar el enfoque logarítmico. Al tomar el logaritmo natural del límite y pasar el operador de límite a través de la función logaritmo natural, obtenemos
A continuación, usamos algo de álgebra y luego aplicamos la regla de L’Hospital para evaluar el límite en (5):
La regla de L’Hospital se puede aplicar una vez más para encontrar que
y así encontramos
A su vez, aplicando exponenciación a (5), vemos que el límite de interés es
Ejemplo 2
Evalúe el siguiente límite.
Sustituyendo directamente x por infinito, obtenemos la forma indeterminada
Esto no equivale necesariamente a uno como uno podría pensar a primera vista. Cuando un número fijo de términos tiende a uno en el límite, entonces el límite es uno, pero en este caso, el exponente también tiende a infinito. Este límite es muy famoso visto en el cálculo financiero, y resulta ser e . Ahora, veremos por qué esto es cierto usando el método logarítmico. Procedemos de la siguiente manera:
El extremo derecho de (6) da la forma indeterminada 0/0 al insertar x como infinito. Por tanto, se aplica la regla de L’Hospital. Entonces, al aplicar la regla de L’Hospital, vemos que
La exponenciación de (6) da
Ejemplo 3
Evalúe el siguiente límite.
Al usar la regla de L’Hospital, uno puede ver inmediatamente que
y así, al insertar x = 0, obtenemos la forma indeterminada
Por lo tanto, aplicamos el método logarítmico en su lugar.
Luego, después de observar que el extremo derecho de la última igualdad cede 0/0 en sustitución directa. Por tanto, aplicamos la regla de L’Hospital para obtener
Tenga en cuenta que el extremo derecho de (7) todavía produce 0/0 en sustitución directa. Así que aplicamos la regla de L’Hospital un tiempo adicional para obtener
Una vez más, obtenemos la forma 0/0 en sustitución directa. Pero aplicando la regla de L’Hospital por tercera vez, llegamos a
Como resultado, (7) es cero y el límite de interés es
Resumen de la lección
En esta sección, aprendimos cómo evaluar varios límites del formulario
cuando resulta una forma indeterminada al sustituir directamente en x = a . Estas formas indeterminadas incluyen
Están relacionados con las otras formas familiares indeterminadas de
Esto se debe a que al tomar el logaritmo natural de la función original, tenemos
Con la ayuda del teorema del límite de composiciones y la regla de L’Hospital , el método logarítmico de evaluación del límite para este tipo de escenario tiene éxito. Primero debemos encontrar el logaritmo de la función (expresado convenientemente como un cociente de dos funciones) y luego evaluar su límite usando la regla de L’Hospital.
