Cómo factorizar un cubo perfecto: fórmula y ejemplos

Definiciones

Un cubo perfecto es cualquier expresión que pueda representar el volumen de un cubo. Imagínese metiendo la mano en un contenedor de juguetes y sacando varios bloques de construcción y luego intente colocar los bloques en un cubo. Digamos que sacaste 4 bloques. Puedes hacer un cuadrado de 2 bloques por 2 bloques con 4 bloques, pero solo tendrá una altura de 1 bloque, por lo que no forma un cubo. Para crear un cubo, necesitarías sacar 4 bloques más para colocarlos encima del cuadrado que hiciste, así:

Ahora, tiene un volumen de 8 bloques que forman un cubo cuyo largo, ancho y alto son todos 2. Entonces, 8 es un número de cubo perfecto porque 2 x 2 x 2 = 8 o 2 ^ 3 = 8.

Supongamos que desea aumentar el tamaño del cubo para que tenga 3 bloques a lo largo de cada lado, para que se vea así:

Entonces, necesitarías 19 bloques más para un total de 27, porque 3 x 3 x 3 = 3 ^ 3 = 27.

Todos los cubos perfectos resultan de elevar un número entero , un número entero o su contraparte negativa, o una variable a la tercera potencia. Estas expresiones se llaman cubos porque el volumen de un cubo se calcula elevando la longitud de su lado a la tercera potencia.

Un binomio de cubo perfecto es una expresión que consta de dos términos que son cubos perfectos. Estos términos se suman o se restan entre sí.

Factorizar un binomio cubo perfecto

Los factores son expresiones que se multiplican juntas. Entonces, la factorización le pide que descomponga una expresión en expresiones más simples que se multipliquen. Los factores de un binomio cubo perfecto pueden no parecer muy simples porque terminan siendo un binomio , dos términos sumados o restados, multiplicado por un trinomio , tres términos sumados o restados. Sin embargo, existe una fórmula que te da los factores con bastante facilidad.

Cuando se enfrenta a una variedad de problemas de factorización, tiene diferentes métodos para abordar diferentes expresiones. Asegúrese de aplicar la estrategia correcta para cada tipo de problema. Un binomio de cubo perfecto es bastante fácil de identificar y siempre se puede factorizar utilizando esta fórmula. Tus primeras pistas serán que siempre hay dos términos y las variables tienen exponentes que son múltiplos de 3. Una vez que hayas detectado esas características, querrás comprobar que el coeficiente (número multiplicado por variables) y la constante (número sin variables) de ambos términos son números cúbicos perfectos.

Una vez que esté seguro de que está factorizando un binomio de cubo perfecto, usará esta fórmula:

Aquí hay una pista: si tiene una diferencia de cubos en la forma a ^ 3 – b ^ 3, simplemente piense en ello como a ^ 3 + (- b ^ 3). De esa forma solo tienes que memorizar esta fórmula.

Ejemplos

Echemos un vistazo a algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Factorizar: x ^ 3 + 64

En este problema, vemos que se han sumado dos términos, convirtiéndolo en un binomio. Ambos términos son cubos perfectos. Podemos decir eso a partir de la potencia de 3 sobre la x , y sabemos que 64 es un cubo perfecto porque un cubo que mide 4 x 4 x 4 tiene un volumen de 4 ^ 3 = 64. Para factorizar la expresión, hacemos lo siguiente:

1. Determinamos cuáles son a y b para nuestra fórmula. El primer término es fácil, x es la a . En el segundo término, 64 = 4 ^ 3, entonces b es 4.
2. Luego, sustituimos esos valores en la fórmula: ( x + 4) ( x ^ 2 – ( x ) (4) + 4 ^ 2).
3. Podemos reescribir el ( x ) (4) como 4 x , y evaluar el exponente en el último término para limpiarlo. Nuestra forma factorizada final es: ( x + 4) ( x ^ 2 – 4 x + 16).

Ejemplo 2

He aquí otro ejemplo. Factorizar: 8 x ^ 3 – 125

En este problema, vemos que dos términos se restan entre sí, lo que lo convierte en un binomio. La potencia de 3 en la x nos dice que lo más probable es que estemos tratando con un binomio de cubo perfecto. Revisemos los números para asegurarnos de que sean cubos perfectos. El número 8 es un cubo perfecto porque, como discutimos al principio de esta lección, 2 ^ 3 = 8. El número 125 es un cubo perfecto porque un cubo que mide 5 x 5 x 5 tendría un volumen de 5 ^ 3 = 125.

Para factorizar la expresión, hacemos lo siguiente:

1. Determinamos cuáles son a y b para nuestra fórmula. Esta vez en el primer término, 8 x ^ 3 = (2 x ) ^ 3. Por lo tanto, a es 2 x . En el segundo término esta vez es negativo, -125 = (-5) ^ 3, entonces b es -5.
2. Luego, sustituimos esos valores en la fórmula: (2 x + (-5)) ((2 x ) ^ 2 – (2 x ) (- 5) + (-5) ^ 2).
3. Necesitamos limpiar un poco los términos. En el factor binomial (2 x + (-5)), podemos combinar el signo más y el negativo para escribirlo como (2 x – 5). En el factor trinomial, el primer término (2 x ) ^ 2 se puede evaluar como 4 x ^ 2. En el siguiente término, podemos multiplicar (2 x ) y (-5) juntos para obtener (-10 x ). Dado que ese término fue restado, en lugar de usar un doble negativo – (- 10 x ), podemos escribir +10 x . En el término final, estamos elevando al cuadrado (-5), lo que nos da 25. Entonces, la forma factorizada final debería ser (2 x – 5) (4 x ^ 2 + 10 x + 25).

Ejemplo 3

He aquí un ejemplo final. Factorizar: 27 x ^ 6 – 343 y ^ 3

En este problema, tenemos dos términos restados entre sí, lo que lo convierte en un binomio. Comprobemos que todo es un cubo perfecto. 27 es un cubo perfecto porque, como discutimos al principio de esta lección, 3 ^ 3 = 27. 343 puede requerir un poco de cálculo, pero es un cubo perfecto porque un cubo que mide 7 x 7 x 7 tendría un volumen de 7 ^ 3 = 343. Ahora, veamos los exponentes. El y ^ 3 es definitivamente un cubo perfecto, pero ¿qué pasa con el x ^ 6? Recuerda que cualquier potencia que sea múltiplo de 3 también es un cubo perfecto. En este caso, debemos pensar en x ^ 6 como ( x ^ 2) ^ 3.

Para factorizar la expresión, hacemos lo siguiente:

1. Determinamos cuáles son a y b para nuestra fórmula. En el primer término, 27 x ^ 6 = (3 x ^ 2) ^ 3. Por lo tanto, a es 3 x ^ 2. El segundo término es negativo esta vez, -343 y ^ 3 = (-7 y ) ^ 3, entonces b es -7 y.
2. Luego, sustituimos esos valores en la fórmula: (3 x ^ 2 + (-7 y )) ((3 x ^ 2) ^ 2 – (3 x ^ 2) (-7 y ) + (-7 y ) ^ 2.
3. Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos que limpiar los términos. En el factor binomial, podemos combinar el más y el negativo para escribir (3 x ^ 2 – 7 y ). En el factor trinomial, el primer término (3 x ^ 2) ^ 2 se puede evaluar como 9 x ^ 4. En el siguiente término, podemos multiplicar (3 x ^ 2) y (-7 y ) juntos para obtener (-21 ( x ^ 2) y ). Dado que ese término fue restado, en lugar de usar un doble negativo, podemos escribir +21 ( x ^ 2) y . En el término final, estamos elevando al cuadrado (-7 y ), lo que nos da 49 y ^ 2. Entonces, la forma factorizada final debería ser (3 x^ 2-7 y ) (9 x ^ 4 + 21 ( x ^ 2) y + 49 y ^ 2).

Resumen de la lección

Un binomio de cubo perfecto tiene dos términos que son cubos perfectos. Para factorizar uno de estos binomios, primero identifica la a y la b para la fórmula calculando lo que estaba al cubo en cada término. Luego, completa la fórmula:

a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2)

Finalmente, limpia las multiplicaciones y exponentes. Tu respuesta siempre tendrá dos factores, un binomio y un trinomio.

Términos clave

• cubo perfecto: cualquier expresión que pueda representar el volumen de un cubo
• entero: un número entero o su contraparte negativa
• binomio cubo perfecto: una expresión que consta de dos términos que son cubos perfectos
• factores: expresiones que se multiplican juntas
• factorización: dividir una expresión en expresiones más simples que se multiplican
• binomio: dos términos sumados o restados
• trinomio: tres términos sumados o restados
• coeficiente: un número multiplicado por variables
• constante: un número sin variables

8 es un número cúbico perfecto ya que 2 x 2 x 2 = 8 o 2 ^ 3 = 8.

Los resultados del aprendizaje

Después de ver esta lección, debería poder alcanzar los siguientes objetivos:

• Definir un binomio de cubo perfecto
• Factoriza un binomio de cubo perfecto