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Congruencia de triángulos rectángulos: definición de los teoremas de LA y LL

Publicado el 22 septiembre, 2020

Triángulos rectángulos

Los triángulos rectángulos no son como otros triángulos ordinarios. Los triángulos ordinarios solo tienen tres lados y tres ángulos. Son como las personas al azar que puedes ver en la calle. Pueden ser altos y delgados o bajos y anchos. No hay orden ni coherencia.

Los triángulos rectángulos son consistentes. Siempre tienen ese ángulo recto limpio y ordenado. Son como una banda de música. Claro, hay bateristas, trompetistas y tubas. Pero todos tienen los mismos uniformes y marchan en patrones organizados.

Y piensa en el uniforme de un triángulo rectángulo. Ahí está la hipotenusa. Siempre es el lado más largo y siempre está en el mismo lugar, opuesto al ángulo de 90 grados. Luego están las piernas. Estos son los otros dos lados. Se encuentran para formar el ángulo de 90 grados.

Cuando intentamos demostrar la congruencia con triángulos, a los triángulos rectángulos les gusta ahorrarnos un paso, por así decirlo. Otros triángulos requieren tres coincidencias. Está el postulado de lado-ángulo-lado, el postulado de ángulo-lado-ángulo y otros. Los triángulos rectángulos dicen: ‘Oye, ya estamos en uniforme y en línea. Te ayudaremos ‘.

El teorema de LA

Comencemos con el teorema de LA. El teorema de Los Ángeles es mi teoría sobre cómo es el tráfico de Los Ángeles, espera, espera … este LA no tiene nada que ver con Los Ángeles. El teorema de LA en LA se refiere a pierna aguda. Establece que si el cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con el cateto y el ángulo agudo correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Uf. Ese teorema tarda tanto en explicarse como para llegar a cualquier parte del tráfico de Los Ángeles. Estoy bastante seguro de que las bandas de música se moverían más rápido en la 405. En cuanto al teorema de Los Ángeles, cuando lo piensas, es muy lógico.

Veamos dos triángulos, ABC y DEF.


Triángulos de ejemplo
dos triángulos rectángulos congruentes

Definitivamente parecen pertenecer juntos a una banda de música, ¿no es así? Sabemos que ambos son triángulos rectángulos. Los ángulos B y E son cada uno de 90 grados. Y sabemos que AB es congruente con DE y el ángulo A es congruente con el ángulo D.

Usando el teorema de LA, podríamos decir, ‘Ok, dos triángulos rectángulos. Y tenemos una pierna y un ángulo agudo que coinciden, por lo que son congruentes ‘. ¿Pero por qué es esto cierto?

Observe que dado que B y E también son congruentes, este es en realidad solo el postulado de ángulo-lado-ángulo. El hecho de que sean triángulos rectángulos solo nos da un atajo. Es como nacer con una trompeta en tus manos. Mmm, quizás no sea una buena idea.

Pero incluso si no hubiéramos incluido lados, como AB y DE aquí, aún sería como ASA. ¿Qué pasa si sabemos que A y D son congruentes, pero luego BC y EF? Bueno, dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180, sabemos que C y F también deben ser congruentes entre sí. Entonces todavía obtenemos nuestro ángulo-lado-ángulo.

El teorema de LL

A continuación, hablemos del teorema LL. El teorema de LL trata sobre un minorista de artículos deportivos con sede en Maine … espera, no. Eso es LL Bean. Cosa diferente. El teorema LL es el teorema pierna-pierna. El teorema de LA es una pierna aguda, por lo que tiene sentido que LL sea pierna-pierna. Establece que si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes con los catetos de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Esto es como bandas de música con sus pantalones a juego. Sus piernas se parecen, ¿verdad?

A continuación se muestran dos triángulos: MNO y XYZ.


Triángulos de ejemplo
ejemplo triángulos rectángulos

Quizás MNO toque el trombón y XYZ toque el xilófono. Sabemos que son triángulos rectángulos. Los ángulos N e Y son cada uno de 90 grados. Si sabemos que MN es congruente con XY y NO es congruente con YZ, entonces tenemos dos catetos. Esto nos permite decir que son congruentes según el teorema LL.

El teorema LL es en realidad solo el postulado SAS, o lado-ángulo-lado. Recuerda que los catetos de un triángulo rectángulo siempre se encuentran en ángulo recto, por lo que siempre conocemos el ángulo incluido entre ellos.

Usando los teoremas

Así que hemos aprendido sobre el teorema de LA, o pierna aguda, y el teorema LL, o pierna-pierna. Estos se complementan con los teoremas HA y HL. El teorema HA es el teorema del ángulo de la hipotenusa y el teorema HL es el teorema del cateto de la hipotenusa . (Consulte las lecciones sobre estos otros dos teoremas para obtener más información sobre cada uno.) Veamos algunos triángulos y veamos cómo podemos determinar la congruencia.

Aquí hay dos triángulos, LMN y NOL, formados a partir de un rectángulo:


Dos triángulos formados a partir de un rectángulo
dos triángulos formados a partir de un rectángulo

Esto es lo que sucede cuando dos miembros de la banda marchan uno hacia el otro. Tenga cuidado de no ser golpeado con una trompa. ¿Son congruentes? Bueno, decimos que los ángulos OLN y MNL son congruentes. Y comparten una hipotenusa. Por tanto, podemos decir que son congruentes según el HA, o teorema del ángulo de hipotenusa.

¿Y estos dos?


Triángulos de ejemplo
dos triángulos de ejemplo

No parecen congruentes de inmediato. Parecen manifestantes marchando en diferentes direcciones. Pero observe que BC es congruente con ST y los ángulos A y R son congruentes. Por tanto, podemos usar el teorema de LA para determinar que son congruentes. Este es el ejemplo en el que no se nos da exactamente el ángulo-lado-ángulo, pero sabemos que los ángulos B y S también deben ser congruentes.

Aquí hay otros dos que siguen su propio camino:


Triángulos de ejemplo
dos triángulos rectángulos

Quizás los instrumentos de viento de madera finalmente se cansaron de los metales. De todos modos, AB e YZ son congruentes. También lo son BC y XZ. ¿Son esos dos pares de piernas? No, AB e YZ están frente al ángulo recto. ¿Qué hay frente a un ángulo recto? La hipotenusa. Entonces tenemos una hipotenusa y una pierna. ¿Adivina qué? Ese es el teorema de HL, o hipotenusa-leg.

Ok, es hora de uno más. Aquí hay dos triángulos que parecen estar en algún tipo de formación:


Triángulos de ejemplo
dos triángulos de ejemplo

Quizás esta sea una de esas bandas que se coreografían para hacer formas geniales. Ok, ¿qué sabemos? FH es congruente con LK. Y HG es congruente con JK. Esas son todas piernas. Aquí abundan los pantalones a juego. ¿Piernas y piernas? Ese es el teorema pierna-pierna, o LL.

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos sobre dos teoremas útiles de congruencia de triángulos rectángulos.

Primero, está el teorema de LA. Este es el teorema de la pierna aguda. Establece que si el cateto y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con el cateto y el ángulo agudo correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

A continuación, aprendimos sobre el teorema LL. Este es el teorema pierna-pierna. Éste establece que si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes con los catetos de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

También aprendimos a aplicar estos teoremas para establecer la congruencia con triángulos rectángulos. Complementan otros dos teoremas del triángulo rectángulo, el teorema del ángulo de la hipotenusa, o HA, y el teorema del cateto de la hipotenusa, o HL.

Los resultados del aprendizaje

Comprender los hechos de esta lección podría ayudarlo a hacer lo siguiente:

  • Recita las características de los triángulos rectángulos
  • Enuncie el teorema de LA, o pierna aguda, y el teorema LL, o pierna-pierna
  • Detallar las formas en que estos dos teoremas se relacionan con los teoremas del ángulo de la hipotenusa y del cateto de la hipotenusa

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