Conos: definición, área y volumen

Conos

Cuando escucho la palabra ‘conos’, pienso en conos de helado, especialmente en el tipo de gofres. La forma general de estos conos de gofre para helado es la de los conos de los que hablamos en esta lección. Definido matemáticamente, un cono es un objeto tridimensional con una base plana y un lado curvo que se inclina hacia una punta en la parte superior. Otro ejemplo real de un cono son esos conos de tráfico naranja. ¿Puedes ver cómo tanto los conos de helado como los conos de tráfico tienen un lado curvo que se inclina hacia un punto?

Mediciones

Cuando trabajamos con conos, hay tres medidas de las que debemos preocuparnos. Son el radio, la altura del cono y la longitud del lado desde la punta hasta la base. Podemos etiquetarlos a continuación en un dibujo de un cono con r para el radio, la distancia desde el centro de la base circular hasta el borde de la base; h para la altura del cono, qué altura tiene el cono; y s para la longitud del lado desde la punta hasta la base. Nuestras fórmulas de superficie y volumen utilizan estas medidas.

Radio, altura y longitud de un cono

Área de superficie

Nuestra fórmula para la superficie tiene dos partes, una para la base y otra para el lado curvo. El área de superficie es el área total de solo la superficie de nuestro objeto. La fórmula para el área de la base es:

Base del área de superficie = π r 2

La fórmula para el lado curvo es:

Área de superficie Lado curvo = π rs

La s se puede reescribir usando la altura y el radio como:

s = √ ( r 2 + h 2 )

Necesitamos sumar la base y el lado curvo para obtener el área de superficie total, por lo que nuestra fórmula de área de superficie completa para un cono es:

Área de superficie = π r 2 + π rs

Si nuestro problema nos da el radio y la medida s , la longitud del lado desde la punta hasta la base, entonces podemos insertar ese número directamente en la fórmula para s . Pero si el problema solo nos da la altura y el radio del cono, entonces tendríamos que reescribir nuestro problema así:

Área de superficie = π r 2 + π r * √ ( r 2 + h 2 )

Usamos esta versión de la fórmula si solo se nos da la altura y el radio del cono.

Veamos cómo funciona esto con un problema de muestra. Tenemos un cono y se nos dice que tiene un radio de 3 pulgadas y una altura de 10 pulgadas. Vemos que se nos da la ry la h , pero no la s . Entonces, esto me dice que necesito usar la segunda versión de la fórmula del área de superficie que usa la altura en lugar de la longitud del lado. Entonces, introduzco mis números en esta fórmula; Enchufo 3 para r y 10 para h donde sea que los vea:

Superficie = 3,14 * 3 2 + 3,14 * 3 * √ (3 2 + 10 2 )

Ahora sigo adelante y evalúo para encontrar mi respuesta. Elevo al cuadrado el 3 y el 10 y luego los sumo para obtener 109. Saco la raíz cuadrada de esto para obtener 10.44, que luego multiplico con el 3 y el 3.14 para obtener 98.35. Luego multiplico la otra parte de 3,14 con el cuadrado de 3, lo que me da 28,26. Luego sumo el 28.26 y el 98.35 juntos para obtener mi respuesta de 126.61 pulgadas al cuadrado.

Superficie = 3,14 * 3 2 + 3,14 * 3 * √ (9 + 100)

Superficie = 3,14 * 3 2 + 3,14 * 3 * √ (109)

Superficie = 3,14 * 3 2 + 3,14 * 3 * 10,44

Superficie = 3,14 * 3 2 + 98,35

Superficie = 3,14 * 9 + 98,35

Superficie = 28,26 + 98,35

Área de superficie = 126.61 pulgadas cuadradas

Recuerdo que el área siempre está al cuadrado, así que me aseguro de que mi respuesta siempre termine con mis unidades de medida al cuadrado.

Ahora, si mi problema me diera la longitud del lado, pasaría por el mismo proceso excepto que estaría usando la versión de la fórmula con la s en lugar de la h .

Volumen

Para el volumen, la cantidad de espacio dentro de nuestro objeto, solo hay una versión de la fórmula, que usa la altura en lugar de la longitud del lado. La fórmula para el volumen de un cono es:

Volumen =

Nuevamente, una vez que tenga su radio y altura, todo lo que necesita hacer es insertar estos números en la fórmula y evaluar para obtener su respuesta.

Encontremos el volumen del cono de muestra para el que encontramos el área de superficie. Veamos. Nuestro radio para el cono es de 3 pulgadas y nuestra altura es de 10 pulgadas. Introducimos estos números en nuestra fórmula para obtener lo siguiente.

Volumen =

Luego evaluamos esto elevando al cuadrado el 3 para obtener 9 y luego multiplicando eso por 3.14 y 10 para obtener 282.6, que dividimos por 3 para obtener nuestra respuesta de 94.2 pulgadas al cubo.

Recuerdo que el volumen siempre está al cubo, así que me aseguro de que mi respuesta incluya mis unidades de medida al cubo.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Aprendimos que los conos son objetos tridimensionales con una base plana y un lado curvo que se inclina hacia una punta en la parte superior. En el mundo real, vemos conos como conos de helado y conos de tráfico. Las medidas que nos preocupan para los conos son el radio, la altura y la longitud del lado desde la punta hasta la base.

La fórmula para encontrar el área de superficie de un cono es:

Área de superficie = π r 2 + π rs

donde la s puede ser reemplazada por: √ ( r 2 + h 2 )

si el problema le da la altura en lugar de la longitud del lado.

La fórmula del volumen es:

Volumen =

donde todo lo que necesitas es la altura y el radio.

Con estas dos fórmulas, todo lo que necesita es ingresar los números apropiados y evaluar para encontrar sus respuestas. Solo recuerde que el área siempre está al cuadrado y el volumen siempre al cubo.

Los resultados del aprendizaje

Terminar esta lección podría permitirle:

• Ilustrar la forma de un cono y relacionarlo con objetos del mundo real
• Reconocer las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de un cono.
• Escribe las dos fórmulas utilizadas para encontrar el área de la superficie.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador