Crecimiento exponencial vs. decaimiento

Crecimiento exponencial

Ejemplo de función exponencial

Sabemos que una función exponencial es cualquier patrón de números que se multiplica continuamente por algo, por ejemplo, 3, 6 (3 * 2), 12 (3 * 4), 24 (3 * 8). Esta es una función exponencial porque comienzo con un número 3 y lo multiplico continuamente por 2. Podemos representar esto con una ecuación diciendo que y = 3 * 2 x , porque el patrón comienza en 3 y luego se multiplica por 2 en cada paso de la manera. Si sustituye los valores de x que comienzan en 0 y recuerda que 0 exponentes son iguales a 1, encontrará que obtenemos exactamente el mismo patrón. Este ejemplo es lo que se llama crecimiento exponencial porque los números están creciendo exponencialmente, pero hay otro tipo de función exponencial cuyas entradas se vuelven más pequeñas en lugar de aumentar, decaimiento exponencial.

Decrecimiento exponencial

La desintegración exponencial todavía sigue la misma regla de multiplicación repetida, solo que el número por el que multiplicamos tiene que ser menor que uno. Esto termina pareciendo algo que parece ser una división repetida. Echemos un vistazo a un ejemplo con el que la mayoría de nosotros podemos relacionarnos, nuestra computadora se vuelve inútil mucho más rápido de lo que esperábamos.

Función y gráfico que ilustra la caída exponencial

Supongamos que compra una computadora nueva bastante bonita por $ 1,600, pero después de haberla tenido durante un año, ya vale solo la mitad de lo que solía ser. Eso hace que valga $ 800 después de 1 año, y si este patrón continúa, valdría $ 400 después de 2 años, $ 200 después de 3 y solo $ 100 después de unos cortos 4 años. El precio de su computadora está ‘decayendo’ (o disminuyendo) cada año en un factor de 1/2. Parece una división por 2, pero recuerda que la división por 2 es lo mismo que la multiplicación por 1/2. Eso significa que debido a que su patrón comienza en 1,600 y se multiplica repetidamente por 1/2, la ecuación de disminución exponencial para este ejemplo sería y = 1,600 * (1/2) x .

Estas funciones exponenciales se vuelven realmente pequeñas, realmente rápidas. Si asumimos que este patrón continúa, su computadora solo valdría $ 1.50 después de diez años. Pero es importante tener en cuenta que no importa cuánto tiempo conserve su computadora, nunca valdrá $ 0. Puede parecerlo, y podría valer bastante cerca de cero, pero multiplicar por 1/2 una y otra vez solo puede hacer un número realmente muy pequeño. Tal vez termines con 0.0000000000000000001, pero siempre tendrá ese pequeño 1 al final. Si divido esto por 2, que es más pequeño, ahora es 0.00000000000000000005. Todavía hay un número ahí abajo; no importa cuántas veces lo divida entre dos, seguirá siendo un poquito más grande que cero. Esto significa que en nuestra gráfica nuestra línea se va acercando cada vez más y más a la x-eje, pero nunca llegará allí. Este es un concepto matemático que surge con bastante frecuencia y se llama asíntota . En este caso, tenemos una asíntota en y = 0 porque esa es la línea (que es básicamente el eje x) a la que nuestro gráfico se acercará infinitamente pero nunca se tocará.

Crecimiento versus decadencia

Gráficos de crecimiento frente a decaimiento

Ahora que estamos familiarizados con el crecimiento y la disminución exponencial, es importante echar un vistazo a sus gráficos y notar una similitud muy obvia. Aquí tengo y = 2 x , que es crecimiento porque multiplico repetidamente por 2, lo que hace que los números sean más grandes, y aquí tengo y = (1/2) x , que es decaimiento porque tengo 1/2 que se multiplica repetidamente, que hace las cosas más pequeñas. Al mirar sus gráficos, se da cuenta de que son casi iguales, excepto que se han invertido o reflejado alrededor del eje y . Eso significa que el lado derecho de mi gráfico de desintegración es exactamente el mismo que el lado izquierdo de mi gráfico de crecimiento. Esto es cierto porque puedo introducir valores negativos para xen mi gráfica de crecimiento, y cuando conecto, por ejemplo, -1, los exponentes negativos me dan fracciones, lo que significa que tengo que tomar 1 y ponerlo sobre 2 1 , y eso me da 1/2, que es exactamente lo que yo hacer si hago (1/2) 1 aquí en mi función de decaimiento. Entonces, el punto en +1 en el gráfico de disminución es exactamente el mismo que el punto en -1 en el gráfico de crecimiento. Eso significa que ambos tienen una asíntota en y = 0, es solo que el gráfico de crecimiento se acerca infinitamente a cero a medida que avanza hacia los negativos, y el gráfico de desintegración se acerca infinitamente a cero a medida que ingresa a los positivos.

Determinación de un valor inicial

Ahora que estamos familiarizados con el crecimiento exponencial y la disminución exponencial, podemos comenzar a resolver ejemplos más complejos, que, por ejemplo, nos piden que determinemos el valor inicial de una función exponencial cuando solo tenemos dos entradas aleatorias.

Determinando el valor inicial usando una función exponencial

Digamos que le dije que después de ser dueño de mi automóvil durante tres años valía $ 7,168 y luego, tres años después, había bajado a $ 3,670. Si asumimos que estaba disminuyendo en el mismo porcentaje cada año, lo que significa que es una función de disminución exponencial, eso significa que tomé $ 7,168 y lo multipliqué por algo tres veces y terminé con $ 3,670.

Puedo convertir esto en una ecuación simplemente diciendo $ 7.168 veces b tiempos b tiempos b (donde b es mi base) es igual a $ 3,670. Condensando b s como b 3 me da 7,168 b 3 = 3,670, y ahora simplemente tengo que deshacer todo lo que se le ha hecho a b para averiguar cuál es mi base o factor multiplicador.

Divido ambos lados por 7168, lo que te deja con b 3 = 0.5119977 … deshago una tercera potencia con una tercera raíz y encuentro que b debe ser 0.79999999 …, que vamos a redondear a 0.8. Eso significa que la base de mi exponencial es 0.8.

Ahora que lo sé, simplemente puedo trabajar hacia atrás para averiguar cuánto debe haber costado el mismo día que lo compré. Ahora, en lugar de multiplicar por 0.8, para ir hacia atrás voy a dividir. Primero divido por 0,8, luego vuelvo a dividir por 0,8, divido por 0,8 una última vez y resulta que mi coche debe haberme costado inicialmente $ 14 000.

Resumen de la lección

• Las funciones exponenciales son patrones que se multiplican continuamente por algún número.
• Es un crecimiento exponencial cuando la base de nuestro exponencial es mayor que 1, lo que significa que esos números aumentan.
• Es una disminución exponencial cuando la base de nuestra exponencial está entre 1 y 0 y esos números se vuelven más pequeños.
• Una asíntota es un valor al que una función se acercará infinitamente, pero nunca alcanzará.