Cuadriláteros irregulares: definición y área

Cuadriláteros irregulares

Eche un vistazo a la ventana que se muestra en la imagen.

Ventana

Hablemos de las características de la forma de esta ventana. Para empezar, observe que la ventana tiene cuatro lados y cuatro ángulos. En matemáticas, llamamos cuadrilátero a una forma como ésta . Podemos clasificar los cuadriláteros en dos grupos diferentes; regular e irregular.

Un cuadrilátero regular es un cuadrilátero en el que todos los lados tienen la misma longitud. Un cuadrilátero irregular es lo opuesto a este, por lo que es un cuadrilátero que no es regular. En otras palabras, un cuadrilátero irregular es un cuadrilátero cuyos lados no son todos iguales en longitud.

Eche un vistazo a la ventana de nuevo. Tenga en cuenta que los lados no son todos iguales en longitud. Los lados opuestos tienen la misma longitud, pero no todos son iguales. Por tanto, este es un cuadrilátero irregular.

Área de un cuadrilátero irregular

Supongamos que queremos colocar un panel de vidrio en la ventana, pero necesitamos determinar su tamaño. En otras palabras, queremos conocer el área de la ventana. En este caso, estamos tratando con un rectángulo con una longitud de 5 pies y un ancho de 2 pies. Tenemos una fórmula bien conocida para el área de un rectángulo, y es la longitud por el ancho. Por lo tanto, encontramos el área de nuestra ventana multiplicando 5 pies por 2 pies para obtener 10 pies cuadrados.

• Área = largo × ancho = 5 × 2 = 10

Este es el tamaño del panel de vidrio que necesitamos para la ventana.

Ese fue un proceso realmente simple. Es genial cuando estamos trabajando con un cuadrilátero irregular que tiene una fórmula de área agradable como lo hizo esta ventana rectangular.

Sin embargo, debido a que todos los cuadriláteros irregulares son diferentes, no tenemos una fórmula universal agradable que podamos usar para todos ellos. Cuando se trata de encontrar el área de un cuadrilátero irregular que no tiene una fórmula de área conocida, una buena estrategia es seguir los siguientes pasos:

1. Divide el cuadrilátero en dos triángulos dibujando una diagonal.
2. Usa varias fórmulas y propiedades para encontrar el área de cada uno de los triángulos.
3. Sume las áreas de los triángulos.

Suena bastante fácil, pero puede ser un poco complicado. Consideremos un ejemplo de esto.

Ejemplo de cuadriláteros irregulares

Suponga que queremos encontrar el área del cuadrilátero irregular que se muestra.

Hmmm … bueno, el primer paso de nuestra estrategia es bastante fácil. Simplemente dividimos el cuadrilátero en dos triángulos dibujando una diagonal.

Ahora es donde las cosas se complican. No podemos usar la fórmula para el área de un triángulo, (1/2) (base) (altura), ya que no conocemos las alturas de los triángulos. Como indica el segundo paso de nuestra estrategia, necesitaremos usar varias reglas y propiedades para encontrar sus áreas. En este caso, son los siguientes:

Método SAS : El área de un triángulo con dos contiguas longitudes de los lados una y b , y con el ángulo θ es el ángulo entre estas partes es 1/2 ab sen (θ).

Ley de los cosenos : En un triángulo con lados un , b , y c , y los ángulos A , B y C frente a sus respectivos lados, tenemos las siguientes relaciones:

• c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos ( C )
• b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos ( B )
• a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos ( A )

Fórmula de Heron : Si triángulo tiene longitudes laterales a , b , y c , a continuación, su área es:

• Área = √ ( s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c )) donde s = ( a + b + c ) / 2.

Sé que parece mucho, pero solo demuestra lo complicado que puede llegar a ser.

Observe que en nuestro cuadrilátero irregular, podemos encontrar el área del triángulo ABC usando el método SAS con a = 3, b = 12 y θ = 120 grados.

• 1/2 ab sin (θ) = (1/2) (3) (12) sin (120) ≈ 15.6

¡Excelente! Tenemos el área de uno de nuestros triángulos.

Si podemos encontrar la longitud de la diagonal, tendremos todas las longitudes de los lados del triángulo ACD , por lo que podemos usar la fórmula de Heron para encontrar el área. Para encontrar la longitud de la diagonal, podemos usar la ley de los cosenos con a = 3, b = 12 y C = 120, y luego resolver para c .

Obtenemos que la longitud de la diagonal es aproximadamente 13,75 unidades. Ahora, simplemente usamos la fórmula de Heron con a = 7, b = 14 y c = 13,75. Primero, encontramos s .

• s = ( a + b + c ) / 2 = (7 + 14 + 13,75) / 2 = 17,375

Ahora, usamos la fórmula para encontrar el área del triángulo ACD :

Obtenemos que el área del triángulo ACD es de aproximadamente 47 unidades cuadradas. Por último, sumamos las áreas de los dos triángulos:

• Área del cuadrilátero ABCD = 15,6 + 47 = 62,6

¡Ta-da! El área del cuadrilátero irregular es 62,6 unidades cuadradas. ¡Uf! Eso fue un proceso, ¡pero lo logramos!

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre los cuadriláteros, tanto regulares como irregulares, y cómo encontrar el área de los cuadriláteros irregulares.

Un cuadrilátero es una forma de cuatro lados y cuatro ángulos.

Un quadiralteral regular es un cuadrilátero con todos sus lados de la misma longitud.

Un cuadrilátero irregular es un cuadrilátero que no es regular, por lo que todos sus lados no tienen la misma longitud.

Ciertos cuadriláteros irregulares, como una cometa o un rectángulo, tienen buenas fórmulas para sus áreas. Sin embargo, algunos cuadriláteros irregulares no tienen una fórmula de área. Cuando este es el caso, una buena estrategia para encontrar el área es la siguiente:

1. Divide el cuadrilátero en dos triángulos.
2. Usa fórmulas y propiedades para encontrar las áreas de cada triángulo.
3. Sume las áreas de los triángulos.

El segundo paso es el más complicado, porque hay varios escenarios diferentes y cada uno requiere diferentes fórmulas y propiedades para encontrar las áreas de los triángulos. Cuanto más practicamos con este tipo de cuadriláteros, más fácil se vuelve, ¡así que sigue practicando!