Decimales repetidos: definición y ejemplos

Decimal de repetición: Definición

Suponga que estamos construyendo un puente sobre un pequeño arroyo. Al calcular la longitud del puente, terminamos con el número decimal 4.333. . . donde el número 3 se repetirá indefinidamente.

Un decimal periódico es un número decimal que asume un patrón repetitivo de dígitos después de su punto decimal que continuará para siempre, expresado agregando tres puntos al final del número. También podemos indicar dígitos repetidos dibujando una barra sobre ellos, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Observe que en cada uno de estos números, los dígitos después del punto decimal eventualmente asumen un patrón repetitivo. Por ejemplo, en el ejemplo A, vemos que el patrón de repetición de dígitos es 53. En el ejemplo B, el patrón de repetición de dígitos es 752, mientras que en el ejemplo C, el patrón de repetición de dígitos es 3. No importa cuántas veces realicemos El cálculo, estos patrones continuarán indefinidamente.

Conversión a fracciones

Regresemos a nuestros cálculos de puentes. Aunque los decimales repetidos continúan sus patrones para siempre, podemos expresarlos como una fracción, una propiedad que es válida para todos los decimales repetidos. Para convertir el decimal periódico 4.333. . . a una fracción, usaremos los siguientes pasos:

Paso uno

Establezca una ecuación representando el decimal periódico con una variable. Usando nuestro ejemplo, dejaremos que c represente el decimal periódico 4.333. . .

c = 4,33333. . .

Segundo paso

Identifique el número de dígitos en el patrón repetido o n dígitos. Multiplica ambos lados de la ecuación del Paso uno por 10 n para crear una nueva ecuación. El patrón repetido consta de un solo dígito: 3. Ahora multiplique ambos lados de la ecuación por 10 1 = 10.

10 c = 10 * 4,33333. . .

10 c = 43,33333. . .

Paso tres

Reste la ecuación del paso uno de la ecuación del paso dos. Observe que cuando restamos estas ecuaciones, nuestro patrón repetitivo desaparece.

Paso cuatro

Resuelve c y simplifica usando c como fracción: 9 c = 39. Dividiendo ambos lados entre 9, obtenemos:

c = 39/9

c = 13/3 o 4?

Porque 4.33333. . . es igual a 13/3 o 4 1/3, sabemos que nuestro puente debe tener 4 1/3 metros de largo, que podemos medir fácilmente.

Problema de práctica

Veamos otro ejemplo. Considere el decimal periódico 1.752752752. . . y representarlo como una fracción.

Primero, crearemos una ecuación representando nuestro decimal periódico con una variable, digamos m , entonces nuestra ecuación es m = 1.752752752. . .

Como nuestro patrón de repetición de dígitos es 752, este patrón contiene tres dígitos. Multiplicando ambos lados de la ecuación por 10 3 = 1,000 obtenemos:

1000 * m = 1000 * 1,752752752. . .

1.000 m = 1.752,752752. . .

Restando la ecuación del Paso Uno de la ecuación del Paso Dos, tenemos:

999 m = 1.752

Por último, resolvemos la ecuación resultante para m para obtener nuestro decimal periódico en forma de fracción, dividiendo ambos lados de la ecuación por 999.

999 m = 1,751

m = 1.751 / 999

Por tanto, m = 1,752752752… = 1,751 / 999.

Resumen de la lección

Revisemos. Un decimal periódico es un número decimal que adopta un patrón repetitivo de dígitos que continúa para siempre. Para convertir estos números en fracciones, lo que los hace más fáciles de usar, configuramos una ecuación para el decimal periódico con una variable e identificamos el número de dígitos en el patrón repetitivo. Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación para obtener una nueva ecuación y luego restamos el cálculo original del segundo cálculo para eliminar el patrón repetido. En el paso final, dividimos y simplificamos ambos lados de la ecuación resultante para resolver la variable.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador