Demostrar el teorema de los segmentos medios del triángulo
Teorema del segmento medio del triángulo
Suponga que hay cuatro caminos en su vecindario, de modo que tres de los caminos forman un triángulo y que el cuarto camino (Smith Street) conecta dos de los otros caminos en sus puntos medios.
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¿Sabías que existe un teorema real sobre Smith Street? El Teorema del segmento medio del triángulo establece que el segmento de línea que conecta los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo satisfará las siguientes propiedades:
- El segmento de línea será paralelo al tercer lado.
- La longitud del segmento de línea será la mitad de la longitud del tercer lado.
En términos de carreteras, esto nos dice que Smith Street es paralela a Bradford Road y que Smith Street está a la mitad de la distancia de Bradford Road. ¡Ordenado! Podemos usar el teorema para determinar que Smith Street tiene una longitud de 2 km, ya que 1/2 × 4 = 2.
La prueba de este teorema implica probar ambas propiedades usando una serie de deducciones lógicas junto con varios otros teoremas y propiedades. Definitivamente queremos ver esta prueba, así que primero familiaricémonos con algunos hechos y propiedades que necesitaremos usar para llevar a cabo la prueba.
Hechos para la prueba
Prepárese para recibir mucha información a la vez. Sin embargo, no solo será útil, sino esencial tenerlos para mirar cuando hagamos la prueba. Si no está familiarizado con la razón por la que estos hechos son ciertos, no se preocupe. Están aquí solo como referencia. Estamos más interesados en los hechos en sí mismos.
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En un triángulo ABC , si conectamos los puntos medios, D y E , de dos lados cualesquiera, digamos AB y BC , como se muestra en la imagen, entonces los siguientes hechos son ciertos:
- AD = BD y CE = BE , porque D y E son los puntos medios de AB y BC , respectivamente.
- Teorema de semejanza de triángulo de lado de ángulo : Los triángulos son similares si la razón entre dos lados correspondientes es igual a la razón entre otros dos lados correspondientes, y los ángulos entre esos lados correspondientes tienen la misma medida.
- Los triángulos similares tienen ángulos correspondientes de igual medida y los lados correspondientes son proporcionales o crean la misma razón.
- Inverso del postulado de los ángulos correspondientes : si trazamos una línea, llamada transversal, a través de dos líneas cualesquiera, y crea dos ángulos correspondientes que tienen la misma medida, entonces las dos líneas son paralelas.
De acuerdo, les dije que era mucha información a la vez, pero estaremos muy contentos de tenerla a mano cuando hagamos esta prueba. Hablando de eso, ¡estamos listos! ¡Hagámoslo!
Prueba del teorema del segmento medio del triángulo
Dado un triángulo ABC , dibujemos un segmento de línea que conecte los puntos medios de dos de los lados, digamos AB y BC .
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Para probar el Teorema del segmento medio del triángulo, necesitamos mostrar dos cosas:
- DE es la mitad de AC . Es decir, DE = (1/2) AC .
- DE es paralelo a AC .
Empezaremos con la primera parte. Como D es el punto medio de AB , tenemos que AD = DB . Por lo tanto,
- AB = AD + DB = DB + DB = 2 DB
De manera similar, dado que E es el punto medio de BC , tenemos que BE = EC , y
- BC = BE + EC = BE + BE = 2 BE
Por lo tanto, tenemos lo siguiente:
- DB / AB = BE / BC = 1/2
Considere el Δ ABC y el Δ DBE . Acabamos de mostrar que la relación entre los lados correspondientes DB y AB y entre los lados correspondientes BE y BC son ambos iguales a 1/2. Además, observe que estos dos triángulos comparten el ángulo B , por lo que sabemos que la medida del ángulo entre estos dos conjuntos de lados correspondientes tiene la misma medida. Por lo tanto, según el teorema del lado del ángulo lateral para triángulos similares, tenemos que Δ ABC es similar a Δ DBE .
Dado que Δ ABC es similar a Δ DBE , tenemos que todos los lados correspondientes de estos dos triángulos son proporcionales y crean la razón 1/2.
- DB / AB = BE / BC = DE / AC = 1/2
Ahora observe la relación DE / AC = 1/2, específicamente. Si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por AC , obtenemos lo siguiente:
- DE = (1/2) CA
¡Esto es exactamente lo que queríamos demostrar para la primera parte! Todo lo que nos queda es la segunda parte. Es decir, debemos demostrar que DE es paralelo a AC .
Dado que Δ ABC es similar a Δ DBE , tenemos que los dos ángulos correspondientes, ∠ BDE y ∠ BAC tienen la misma medida. Note que estos son también dos ángulos correspondientes si tuviéramos que dibujar la línea, o transversal, AB a través de las dos líneas AC y DE . Por lo tanto, según el Postulado inverso de los ángulos correspondientes, tenemos que DE debe ser paralelo a AC , ¡y esto prueba la segunda parte!
¡Ta-da! Hemos probado ambas partes del Teorema del segmento medio del triángulo, ¡así que hemos probado el teorema! Eso no fue tan difícil, ¿verdad?
Resumen de la lección
El Teorema del segmento medio del triángulo establece que, si conectamos los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo con un segmento de línea, ese segmento de línea satisface las siguientes dos propiedades:
- El segmento de línea será paralelo al tercer lado.
- La longitud del segmento de línea será la mitad de la longitud del tercer lado.
La prueba de este teorema es simplemente una cuestión de usar propiedades de triángulos similares y ángulos correspondientes para deducir lógicamente que ambas propiedades del teorema son verdaderas.
Este teorema es extremadamente útil en muchas aplicaciones del mundo real. La próxima vez que necesitemos usar este teorema, no solo conoceremos el teorema y cómo funciona: gracias a la demostración del teorema, también sabemos por qué funciona.
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