Derivar la ecuación de una hipérbola a partir de los focos

Hipérbola

¿No son increíbles las mariposas? Probablemente sean uno de los insectos más hermosos que existen. Algunas personas incluso dicen que cuando una mariposa se posa sobre ti, es un ser querido que ha fallecido, haciéndote saber que te está cuidando. Sea o no cierto, aquí hay un hecho interesante sobre una mariposa que es definitivamente cierto: si delineamos las alas de una mariposa, como se muestra a continuación, y dibujamos una línea en el centro de la mariposa, creamos una curva llamada hipérbola .

Las líneas dibujadas crean una hipérbola

Probablemente nunca antes pensó en una mariposa como una curva matemática, ¿eh? Para dos puntos dados, F y G , llamados focos, una hipérbola es el conjunto de puntos, P , de manera que la diferencia entre las distancias FP y GP es constante. Las hipérbolas también tienen otras características. Ambas ramas de la hipérbola están a la misma distancia de una línea que pasa por un punto ( h , k ), llamado centro de la hipérbola. Los puntos de la hipérbola que están más cerca del centro de la hipérbola se denominan vértices y cada vértice es una distancia fija dea desde el centro. Los focos de una hipérbola son dos puntos que están dentro de las ramas de la hipérbola, y cada uno de ellos está a una distancia fija, c , del centro. Por último, la línea que conecta el centro, los vértices y los focos de la hipérbola se llama eje transversal .

Ecuación de una hipérbola dados los focos

Estas son las ecuaciones de una hipérbola con un eje transversal horizontal y un eje transversal vertical:

Basado en esto, si podemos encontrar h , k , un , b , y c , podemos conectar estos valores en obtener una ecuación para una hipérbola. Echemos un vistazo a cómo encontrar estos valores si tenemos nuestros focos ( x 1 , y ) y ( x 2 , y ) y ( x , y 1 ) y ( x , y 2 ). En la siguiente explicación, trataremos los focos (x 1 , y ) y (x 2 , y), o una hipérbola con un eje transversal horizontal. Pero el proceso también se puede aplicar fácilmente en el caso de un eje transversal vertical.

En primer lugar, h y k son fáciles. Estas son las coordenadas del centro de la hipérbola. Por lo tanto, si podemos encontrar el centro, tenemos nuestro h y k . Para encontrar el centro de una hipérbola dados los focos, simplemente encontramos el punto medio entre nuestros dos focos usando la fórmula del punto medio. La fórmula del punto medio encuentra el punto medio entre ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) y es:

(( x 1 + x 2 ) / 2, ( y 1 + y 2) / 2)

Al hacer esto, también podemos encontrar c encontrando la distancia desde el centro a los focos.

El valor c no está directamente en la ecuación, pero lo necesitamos para encontrar b , como veremos en breve.

A continuación, vamos a echar un vistazo a una . El valor a es la distancia fija desde los vértices hasta el centro de la hipérbola. Por tanto, tenemos que tener al menos uno de los vértices para encontrar este valor. Entonces, si tenemos centro ( h , k ) y vértice ( d , k ), entonces a = d – h . Por último, necesitamos poder encontrar b . Para ello, utilizamos la relación entre un , b , y c en una hipérbola, y eso es:

b ^ 2 = c ^ 2 – a ^ 2.

Por lo tanto, una vez que tenemos una y c , podemos encontrar b . Muy bien, esa es mucha información. ¿Por qué no echamos un vistazo a un ejemplo para ayudar a poner las cosas en perspectiva y facilitar nuestra comprensión de estas interesantes curvas?

Ejemplo

Considere la hipérbola con focos (-4, 0) y (4, 0) y vértice (3, 0). Queremos encontrar una ecuación que represente esta hipérbola. Vemos que el eje transversal es horizontal, por lo que la ecuación para la hipérbola tendrá la forma:

Por lo tanto, necesitamos encontrar h , k , a , b y c . Vamos a empezar con h y k . Encontraremos el centro encontrando el punto medio entre los focos (-4, 0) y (4, 0). El punto medio entre (-4, 0) y (4, 0) es:

((-4 + 4) / 2, (0 + 0) / 2) = (0/2, 0/2) = (0, 0)

Vemos que el centro es (0, 0), entonces h = 0 y k = 0. Ahora podemos encontrar c encontrando la distancia desde el centro (0, 0) a los focos (4, 0).

c = 4 – 0 = 4

A continuación, encontraremos a calculando la distancia desde el centro (0, 0) al vértice (3, 0).

a = 3 – 0 = 3

Hasta aquí todo bien. Y solo tenemos un valor más para encontrar, que es b . Para hacer esto, usamos el hecho de que:

b ^ 2 = c ^ 2 – a ^ 2

b ^ 2 = 4 ^ 2 – 3 ^ 2 = 16 – 9 = 7

b se eleva al cuadrado en la ecuación, entonces b = +/- la raíz cuadrada de 7, lo que da b ^ 2 = 7 en ambos casos. Vemos que b = +/- la raíz cuadrada de 7. ¡Impresionante! Tenemos todos nuestros valores.

Conectamos h = 0, k = 0, a = 3 y b = +/- la raíz cuadrada de 7 (o b ^ 2 = 7) en la ecuación y simplificamos:

Reemplaza h = 0, k = 0, a = 3 y b = la raíz cuadrada de 7.

(( x – 0) ^ 2 / (3 ^ 2)) – (( y – 0) ^ 2 / (la raíz cuadrada de 7) ^ 2) = 1

Simplificar:

x ^ 2/9 – y ^ 2/7 = 1

La ecuación de nuestra hipérbola es:

x ^ 2/9 – y ^ 2/7 = 1

Eso no estuvo tan mal, ¿verdad? Una ecuación completa, de conocer solo los focos y un vértice.

Resumen de la lección

Para dos puntos dados, F y G , llamados focos, una hipérbola es el conjunto de puntos, P , de manera que la diferencia entre las distancias FP y GP es constante. Las otras características de una hipérbola están en sus ramas, vértices, centro y eje transversal . Las hipérbolas también se pueden representar mediante una ecuación. Lo crea o no, podemos derivar una ecuación de una hipérbola simplemente conociendo los focos y un vértice de la hipérbola. Bastante ordenado, ¿eh? Estas curvas son menos comunes que otras en matemáticas, pero igualmente fascinantes.