¿Qué es una desigualdad compuesta?
Una desigualdad compuesta es una combinación de dos o más desigualdades unidas por un «y» o un «o». En matemáticas, la mayoría de las veces tratamos con igualdades: dos afirmaciones que, en todo momento, deben permanecer exactamente iguales entre sí; sin embargo, a veces nos interesan más o menos que las relaciones. Tenemos dos declaraciones, y una siempre debe ser más grande o al menos tan grande que la otra.
Hagamos un viaje
Imagine, por ejemplo, que está planeando unas vacaciones en Memphis. Tal vez tenga $ 500 reservados para el viaje. O tal vez esté ahorrando un poco mensualmente; la cantidad que tendrá que gastar dependerá de cuánto tiempo tenga hasta que se vaya. En cualquier caso, no debe gastar en el viaje más de la cantidad que ha ahorrado. Endeudarse no es una opción. No tiene que gastar todos sus ahorros, pero no puede gastar más que eso.
Matemáticamente, tienes:
Presupuesto de viaje <= Ahorro
(El ‘<=’ aquí significa ‘menor o igual que’).
Puede terminar con una expresión compleja a cada lado del símbolo ‘<=’ (la desigualdad). Por ejemplo, tal vez use la variable t para representar el tiempo. Cada mes ahorras $ 50 para tu viaje. La desigualdad ahora se convierte en:
Presupuesto de viaje <= 50 t
Entonces, si ahorra durante 6 meses, entonces t = 6. Sus ahorros serían $ 300 y su presupuesto de viaje tendría que ser menor o igual a $ 300.
Ahora imagine que ha visitado a un agente de viajes y se ha enterado de que el costo de su viaje será de $ 850. Desea saber cuántos meses necesitará ahorrar antes de tener suficiente dinero para hacer el viaje. En otras palabras, necesitas resolver para t en la siguiente desigualdad:
850 <= 50 t
En la mayoría de los casos, puede resolver t exactamente como si tuviera una ecuación en lugar de una desigualdad. Simplemente divide ambos lados por 50. Obtienes: 17 <= t . Generalmente, invertimos el orden, ya que nos gusta ver la variable en el lado izquierdo: t > = 17. En otras palabras, necesitas ahorrar para el viaje durante al menos 17 meses.
Desigualdades compuestas
Las desigualdades compuestas son necesarias cuando se deben cumplir dos condiciones, en lugar de solo una. Por ejemplo, considere las siguientes posibles adiciones a nuestra historia.
R. El viaje debe realizarse en menos de 2 años a partir de ahora (24 meses).
Aquí, sus dos desigualdades (condiciones) son:
17 <= t y t <24
La palabra «y» entre las dos condiciones es muy importante. Significa que no puedes elegir entre las dos condiciones. Deben cumplirse ambas condiciones. Otra forma de decir esto es que necesitamos la intersección de los dos conjuntos de soluciones. Necesitamos los valores de t que funcionen para ambas desigualdades.
En algunos casos, es fácil imaginar la solución. t debe ser 17 o mayor. También debe ser inferior a 24. Por lo tanto, puede ser cualquier valor desde 17 hasta poco menos de 24 meses.
Otras veces, puede ser más complicado imaginar la solución. En ese caso, una recta numérica , como se muestra aquí, puede ser útil. Sombrea los valores que funcionan para la primera desigualdad, así como los que funcionan para la segunda. El lugar donde se superponen es el conjunto de números que funciona para ambas desigualdades.
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En este caso, tienes una situación intermedia . La solución son todos los valores entre dos números. Cuando eso suceda, puede combinar las dos desigualdades, para que se vean así:
17 <= t <24
B. Hay muchas situaciones de viaje diferentes que también usarían más de una desigualdad. Digamos que tiene la opción de ahorrar $ 50 por mes para el viaje de $ 850 o ahorrar $ 100 por mes para un viaje de $ 1000.
Tus dos desigualdades ahora se ven así:
17 <= to 1000 <= 100 t
Observe la palabra ‘o’ en este ejemplo. ‘O’ significa que tiene una opción; t sólo tiene que cumplir con una de las dos condiciones. No tiene que cumplir con los dos. Solo harás uno de los dos viajes.
Podría resolver (simplificar) la desigualdad de la derecha, por lo que se ve así:
17 <= t o 10 <= t
t puede ser o bien 17 o más meses, o puede ser 10 o más meses. Si eres bueno imaginando números, verás que eso significa que lo más pronto que puedes hacer el viaje es después de 10 meses. Al combinar las dos desigualdades, encuentra que t realmente puede ser cualquier 10 o más. Podrás elegir al menos uno de los viajes si esperas al menos 10 meses.
Usando una recta numérica, sombrea los valores mayores que 17 y luego sombrea los valores mayores que 10; sin embargo, ahora desea la unión de los dos conjuntos. Quiere todos los lugares en la recta numérica que satisfagan una condición, la otra condición o ambas. Entonces, su solución es cualquier lugar que tenga sombreado de cualquier tipo.
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Usando la recta numérica, nuevamente verá que t debe ser 10 o más.
Resumen de la lección
Una desigualdad compuesta es la combinación de dos o más desigualdades. A veces, una de las desigualdades debe ser cierta. En ese caso, las dos desigualdades se combinarán con la palabra ‘o’. Otras veces, ambas desigualdades deben ser verdaderas al mismo tiempo. En ese caso, las dos desigualdades se combinarán con la palabra ‘y’ (o se escribirán como una desigualdad ‘entre’).
Los resultados del aprendizaje
Cuando haya terminado, debería poder:
- Identificar y describir una desigualdad compuesta.
- Resolver una desigualdad compuesta usando una recta numérica
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