¿Qué es una discontinuidad de salto?
Cuando tenemos una función que salta de un lugar a otro en un punto determinado, decimos que tenemos una discontinuidad de salto . Es un fenómeno interesante porque puede ver la división en la función cuando se detiene en algún lugar y se reanuda en otro lugar. La función incluso puede comportarse de manera diferente después de que se reanude. Lo cierto es que la discontinuidad del salto hace que la función no sea continua. Entonces, ¿cómo se ve una discontinuidad de salto?
Cómo se ve una discontinuidad de salto
Al observar una discontinuidad de salto, verá que la función simplemente salta de una ubicación a otra en un punto o puntos determinados. Puede tener más de una discontinuidad de salto en una función determinada. Puede tener desde cero hasta cientos. No hay límite. Veamos un par de ejemplos de discontinuidades de salto para ver un patrón de cómo se ven.
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En este, vemos que en x = -2, la función se detiene en y = 1 y vuelve a retomar en y = 5. Debido a que la función tiene ubicaciones de salto, esta ruptura es una discontinuidad de salto. Además, observe cómo la función se comporta de manera diferente antes y después del salto. Antes del salto, la función va hacia abajo, pero después del salto, la función comienza a ir en línea recta. Esto es perfectamente aceptable para funciones con discontinuidades de salto. Veamos otro ejemplo.
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Este es un poco más interesante. Debido a que todas las rupturas en la función son saltos, todas son discontinuidades de salto, y hay bastantes en esta función. Entre los saltos, vemos que la función siempre se comporta en línea recta, aunque en diferentes ubicaciones. Esto también es aceptable.
Es posible que haya notado en estas imágenes que hay círculos sólidos y círculos abiertos. Estos diferentes tipos de círculos tienen diferentes significados. Un círculo de cualquier tipo significa que la función se detiene o comienza en ese punto. Un círculo sólido significa que la función incluye este valor en el que se encuentra. Un círculo abierto significa que la función simplemente se detiene o comienza en ese punto, pero no incluye ese punto.
Funciones por partes
Las funciones con discontinuidades de salto, cuando se escriben matemáticamente, se denominan funciones por partes porque se definen pieza por pieza. Verás cómo entran en juego los círculos abiertos y cerrados con estas funciones. Veamos ahora una función para ver cómo se ve una función por partes.
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La fórmula nos dice que para todos los valores de x menores que -1 pero sin incluirlo, la función se comporta como y = x + 1, y para todos los valores de x mayores que -1 incluido ese número, la función se comporta como y = x + 4. Al graficarlo, verá que tenemos una discontinuidad de salto diferente en x = -1 porque la función se detiene y comienza de nuevo en diferentes ubicaciones.
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¿Notaste cómo la función y = x + 1 no incluye el punto x = -1? Ese punto está marcado con un círculo abierto para mostrar eso. El otro punto de la función y = x + 4, está marcado con un círculo cerrado para mostrar que sí incluye el punto x = -1.
El hecho de que tenga una función por partes no significa que tendrá una discontinuidad de salto. Además, las funciones por partes pueden tener tantas regiones como deseen. No se limitan a solo dos regiones.
Comprobación de discontinuidades de salto
Es importante comprobar la existencia de discontinuidades de salto incluso si se le asigna una función por partes que parece que tiene una discontinuidad de salto. ¿Cómo los verifica? Lo que hace es conectar su valor x donde la función por partes cambia para ver si las diferentes funciones coinciden entre sí o no.
Hagamos un ejemplo para ver cómo funciona. Tenemos una función como esta:
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¿Tiene esta función una discontinuidad de salto en x = 2? A primera vista, puede parecer así porque las funciones son diferentes y la función cambia en x = 2. Podemos verificar si ingresamos x = 2 en las funciones. Para valores de x menores que 2, la función es y = x + 1. Si conecta x = 2, obtiene y = 2 + 1 = 3. De acuerdo, hasta ahora está bien. Mirando la función de nuevo, puedes ver que para valores de x mayores o iguales que 2 la función es 3. Entonces, en x = 2 para esta parte, entonces y = 3. Bueno, parece que la función coincide en x = 2. ¿Tenemos entonces una discontinuidad de salto?
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Gráficamente, no parece que lo hagamos nosotros. La función es el mismo número en el punto donde cambia, y terminamos con una función completa continua sin discontinuidades. Es por eso que debemos verificar si hay discontinuidades, incluso si parece que podría tener una.
¿Qué pasa si la función se cambia un poco? ¿Tendrá entonces una discontinuidad? Veamos.
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En este caso, tenemos una discontinuidad porque donde la primera función termina en 3 en x = 2, la segunda función comienza en 4 en x = 2. Hay un salto.
Resumen de la lección
Recuerde siempre comprobar la discontinuidad de un salto, incluso si parece que una función por partes tiene una discontinuidad. Una discontinuidad de salto parece como si la función saltara literalmente ubicaciones en ciertos valores. No hay límite para el número de discontinuidades de salto que puede tener en una función. Las funciones que se dividen en regiones separadas se denominan funciones por partes . También puede tener tantas regiones como desee.
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