Diagonalización
Una matriz diagonal es una matriz en la que los valores distintos de cero aparecen solo en su diagonal principal. En otras palabras, cada entrada que no está en la diagonal es 0. La diagonalización es el proceso de transformar una matriz en forma diagonal.
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No todas las matrices se pueden diagonalizar. Una matriz diagonalizable podría transformarse en una forma diagonal mediante una serie de operaciones básicas (multiplicación, división, transposición, etc.). Sin embargo, este proceso puede ser largo y no se describe fácilmente. Afortunadamente, la diagonalización se puede realizar mediante un algoritmo más general que aprovecha el polinomio característico de la matriz .
Autovectores y autovalores
Dado que los vectores propios y los valores propios de una matriz son tan importantes para comprender el cómo y el por qué de una matriz diagonal, valdría la pena revisarlos rápidamente aquí. Se puede entender que una matriz, digamos A , representa una función o transformación que podría aplicarse a un vector, digamos v . Si el vector cambia de magnitud, pero no se transforma de otra manera, entonces es un vector propio de la matriz. Cualquier valor por el que se cambia el vector se denomina valor propio de la matriz. Por lo general, el número escalar por el que se multiplica el vector se llama lambda. Esta relación se puede expresar mediante la siguiente ecuación:
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La matriz diagonalizada no está en el mismo espacio vectorial que la matriz original. Los autovectores de la matriz serán la base del nuevo espacio. Cuando se ha diagonalizado una matriz, las columnas de cada una corresponden a un vector propio de la matriz y cada valor (uno por columna) representa los valores propios de la matriz.
Poliniomio característico
La diagonalización de la matriz se realiza habitualmente manipulando el polinomio característico de la matriz. Los valores propios de la matriz son los ceros del polinomio característico.
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Condición para la diagonalización
No todas las matrices se pueden diagonalizar.
Cada matriz cuadrada tiene una ecuación característica. Sin embargo, los valores de la matriz diagonalizada son los valores de lambda cuando P (lambda) = 0. Si el determinante de la función característica no es 0 para alguna lambda, entonces la matriz no puede diagonalizarse.
Descripción del proceso de diagonalización
El determinante de la matriz cuadrada es una propiedad útil. El algoritmo para calcular el determinante se vuelve más complicado a medida que la matriz se hace más grande. Por ejemplo, el determinante de la matriz 2×2
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Las matrices más grandes requieren cálculos más largos y complicados.
La expresión interna de la ecuación determinante es una nueva matriz creada multiplicando la matriz identidad por lambda y restando la matriz original por lambda. Tomar el determinante de esta nueva matriz producirá un polinomio. Los ceros de ese polinomio son las entradas de la matriz diagonal. En efecto, esta nueva matriz se crea restando lambda de cada entrada en la diagonal de la matriz.
El polinomio característico de una matriz generalmente será del mismo orden que el tamaño de la matriz. En otras palabras, una matriz de 2×2 tendrá una ecuación característica de segundo orden (binomial). Una matriz de 3×3 tendrá una ecuación de tercer orden. El término más grande incluirá el cubo de lambda y así sucesivamente.
Vale la pena repetirlo: la nueva matriz diagonal creada por este procedimiento es realmente una representación de la matriz original. Sin embargo, ahora está representado en un nuevo espacio vectorial. Los vectores propios de la matriz son la base de este nuevo espacio.
Ejemplo
Calcular funciones características es un cálculo muy complicado para cualquier matriz por encima de 3×3. Entonces, nuestro ejemplo se enfocará en una matriz de 2×2.
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Reste lambda de la diagonal:
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Toma el determinante:
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Limpiar esto para derivar el polinomio característico:
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Resolviendo para lambda, los valores propios de la matriz original son 2 y 3. Esto produce una nueva matriz diagonal:
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Resumen de la lección
Una matriz diagonal es una forma especial de una matriz cuadrada en la que las entradas distintas de cero solo aparecen en la diagonal principal de la matriz. Las matrices diagonales son útiles porque son más fáciles de realizar cálculos y, lo que es más importante, porque presentan una conexión explícita entre los vectores propios y los valores propios de la matriz original. El proceso de diagonalización implica construir y resolver el polinomio característico de la matriz. Las soluciones de este polinomio son las entradas de la matriz diagonal.
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