Dilatación en un plano de coordenadas
Dilataciones en un plano de coordenadas
¿Sabías que la geometría nos rodea y las cosas que usamos todos los días tienen indicios de matemáticas? ¿Sabías que cuando vas a una sala de cine, estás viendo una dilatación de la película digital muy pequeña? ¿Ha tomado una foto con su teléfono y ha pedido una impresión? ¿Es esa impresión del mismo tamaño que la imagen de su teléfono o es más grande?
Se pueden dilatar objetos como imágenes o películas. Los objetos en el plano de coordenadas también se pueden dilatar. Una dilatación es una ampliación o reducción de un objeto por un factor de escala y con un centro de dilatación. El factor de escala se refiere al cambio de tamaño. El centro de dilatación es un punto alrededor del cual estamos dilatando un objeto. Normalmente, el centro de dilatación es el origen (0,0).
Un objeto se agranda si el factor de escala es mayor que 1. Un objeto se reduce si el factor de escala es una fracción, menor que 1.
Para encontrar la imagen dilatada, primero debemos conocer las coordenadas de nuestra imagen original. Luego, simplemente multiplicamos la coordenada por el factor de escala para encontrar la imagen dilatada.
Ejemplo de dilatación 1
Grafique el rectángulo ABCD con las coordenadas A (-2, 1), B (1, 1), C (1, -1), D (-2, -1). Luego, dilate la imagen con un factor de escala de 2 con el origen como centro de dilatación.
Primero, comenzamos trazando los puntos para el rectángulo ABCD.
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A continuación, tomamos todas las coordenadas y las multiplicamos por 2:
A ‘(- 4, 2), B’ (2, 2), C ‘(2, -2), D’ (- 4, -2)
Ahora graficamos la nueva imagen con la imagen original.
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¿Es la nueva figura una ampliación o reducción de la imagen original?
Dado que la nueva figura es más grande y nuestro factor de escala era mayor que 1, la nueva imagen es una ampliación.
Ejemplo de dilatación 2
Grafica el triángulo ABC con coordenadas A (2, 6), B (2, 2), C (6, 2). Luego, dilate la imagen con un factor de escala de 1/2 con el origen como centro de dilatación.
Primero, graficamos nuestro triángulo original en el plano de coordenadas:
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A continuación, multiplicamos cada coordenada por el factor de escala de 1/2. Multiplicar por 1/2 es lo mismo que dividir cada coordenada por 2:
A ‘(1, 3), B’ (1, 1), C ‘(3, 1)
Luego, graficamos la nueva imagen con la imagen original:
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¿Es la nueva imagen una ampliación o reducción de nuestra figura original?
Dado que el factor de escala era una fracción menor que 1 y el nuevo triángulo es más pequeño que el original, es una reducción.
Ejemplo de dilatación 3
Dado el rectángulo original ABCD y la imagen dilatada A’B’C’D ‘, determine el factor de escala y si ocurrió una ampliación o reducción.
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Primero, enumeremos las coordenadas de la figura original y las coordenadas de la nueva figura:
A (0, 2), B (3, 2), C (3, 0), D (0, 0)
A ‘(0, 4), B’ (6, 4), C ‘(6, 0), D’ (0,0)
La imagen dilatada es más grande que la imagen original, por lo que se ha realizado una ampliación.
Ahora, ¿por qué se ha multiplicado el primer conjunto de coordenadas para obtener la imagen dilatada? Dado que todas las coordenadas se han multiplicado por 2, el factor de escala es 2.
Resumen de la lección
Muy bien, tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido. Una dilatación es una ampliación o reducción de una imagen por un factor de escala. También aprendimos que el centro de dilatación es un punto sobre el cual estamos dilatando un objeto. El factor de escala es el número por el que se multiplica cada coordenada para obtener la nueva imagen. Una ampliación es cuando el factor de escala es mayor que 1 y la nueva imagen es más grande que la original. Una reducción es cuando el factor de escala es menor que 1 y la nueva imagen es más pequeña que la original.
Para graficar una imagen y encontrar la imagen dilatada seguimos los siguientes pasos:
- Grafica la figura original.
- Multiplica las coordenadas originales por el factor de escala.
- Grafique la imagen dilatada trazando los nuevos puntos.
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