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El teorema de la raíz irracional: definición y aplicación

Publicado el 22 noviembre, 2020

¿Qué es el teorema de la raíz irracional?

Un polinomio con coeficientes enteros tiene las siguientes raíces:

nulo

¿Puedes encontrar al menos dos raíces adicionales? La respuesta es , y la técnica utilizada para encontrarlos hace uso del teorema de la raíz irracional.

El teorema de la raíz irracional se puede enunciar de la siguiente manera:

Deje una y b dos números tales que una es un número racional y la raíz cuadrada de b es un número irracional . El teorema de la raíz irracional establece que si la suma irracional de a más la raíz cuadrada de b es la raíz de un polinomio con coeficientes racionales, entonces a menos la raíz cuadrada de b , que también es un número irracional, es también una raíz de ese polinomio.

Los términos importantes utilizados en esta declaración incluyen los siguientes:

(1) Un número racional es cualquier número que tiene un número finito de dígitos a la derecha del punto decimal o cualquier número que tiene un número finito de dígitos a la derecha del punto decimal que se repite en algún patrón. Los enteros son números racionales.

La fracción 9/11 es un número racional ya que su representación decimal es 0.818181 … ; es decir, tiene un número infinito de dígitos a la derecha del decimal, pero esos dígitos se repiten.

(2) Un número irracional es cualquier número que tiene un número infinito de dígitos a la derecha del decimal y esos dígitos no se repiten. Ejemplos de números irracionales incluyen pi y las raíces cuadradas de números primos. Sumar, restar, multiplicar o dividir un número irracional por un número racional siempre da un número irracional. La división por un número racional excluye la división por cero.

(3) Sea y = a más la raíz cuadrada de b , donde la raíz cuadrada de b es un número irracional. El conjugado de y es a menos la raíz cuadrada de b.

Ejemplos

Usando el teorema de la raíz irracional, podemos responder la pregunta planteada al comienzo de esta lección, que es:

Un polinomio con coeficientes enteros tiene las siguientes raíces:

nulo

¿Puedes encontrar al menos dos raíces adicionales?

Dado que el polinomio desconocido tiene coeficientes enteros, esos coeficientes son racionales. Dado que seis no es un cuadrado perfecto, entonces la raíz cuadrada de 6 es un número irracional. Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de dos es irracional, y dos multiplicado por un número irracional también es irracional. Además, un número racional más un número irracional es siempre irracional.

Por lo tanto, dos raíces adicionales para el polinomio en cuestión serían:

nulo

Como segundo ejemplo, considere las raíces del polinomio

f (x) = x 3 – 4 x 2 – 11 x +2.

Tenga en cuenta que los coeficientes de f (x) son números enteros y, por tanto, números racionales.

nulo

Usando una gráfica de esta función, podemos encontrar que -2 es una raíz racional para esta ecuación. Podemos usar la división sintética para factorizar este polinomio y obtener:

f (x) = ( x +2) ( x 2 + 6 x + 1).

Podemos factorizar el término cuadrático usando la fórmula cuadrática para obtener las dos raíces restantes de f (x) .

nulo

Observe que esas dos raíces son irracionales y conjugadas.

Resumen de la lección

El teorema de la raíz irracional es un método de descubrimiento de la raíz reservado para polinomios que solo tienen coeficientes racionales y al menos una raíz irracional. Cuando este es el caso, las raíces irracionales de este tipo específico de polinomio ocurren en pares conjugados ; es decir, cuando se les da dos números, un y b , donde una es racional, b no es un cuadrado perfecto, y una más la raíz cuadrada de b es una raíz de un polinomio, luego se da un menos la raíz cuadrada de b es también raíz. a menos la raíz cuadrada de b es el conjugado de amás la raíz cuadrada de b.

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