Elipse: definición, ecuación y ejemplos

¿Qué es una elipse?

Probablemente estés muy familiarizado con los círculos. Son completamente redondos y técnicamente se definen como todos los puntos que se encuentran a una distancia determinada, conocida como radio, desde un punto definido llamado centro. Pero, ¿qué pasa si tomas un círculo y lo estiras en direcciones opuestas, ya sea hacia la izquierda y hacia la derecha o hacia arriba y hacia abajo? Terminaría con una forma que todavía es redonda, pero obviamente ya no es un círculo. Lo que tienes ahora es una elipse . Pero, ¿qué es una elipse y cómo funciona?

Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante. En otras palabras, hay dos puntos fijos, llamados focos (o el plural de foco). Si traza todos los puntos donde la distancia desde el primer foco hasta un punto más la distancia desde el segundo foco hasta el mismo punto permanece constante, dibujará una elipse. Como se mencionó, es esencialmente un círculo donde el círculo se estira vertical u horizontalmente en cantidades iguales. A continuación se muestran dos ejemplos:

Una elipse estirada verticalmente en un gráfico

Una elipse estirada horizontalmente en un gráfico

Ecuación para una elipse (forma estándar)

Aquí está la fórmula para una elipse en forma estándar:

A 2 , b 2 , h , y k son todos los números que determinan diferentes características sobre la elipse. Nota la fórmula tiene signos menos en lo delante de h y k .

A partir de la fórmula de la elipse, puede determinar los siguientes elementos sobre una elipse:

• Orientación
• Centrar
• Altura
• Anchura
• Dónde se encuentran los focos

Para determinar la orientación, comparará a 2 y b 2 . Si a 2 > b 2 (o si el número más grande está debajo de la x ), entonces será horizontal o más ancho que alto. Si a 2 < b 2 , entonces tiene una elipse vertical cuya altura es mayor que su ancho.

El centro de la elipse será un punto ( h , k ).

Para determinar el ancho y la altura de la elipse, primero encontrar los valores de una y b tomando la raíz cuadrada de un 2 y B 2 . La anchura será igual a 2 una y la altura será igual a 2 b .

Finalmente, para encontrar los dos puntos de enfoque, o focos, necesitará encontrar el valor de c . Tenga en cuenta que c no se da en la fórmula, pero debe calcularse encontrando primero el valor de c 2 restando a 2 y b 2 , los dos números en los denominadores de la fórmula. Siempre restará el valor más pequeño del valor más grande; en otras palabras, c 2 siempre debe ser un número positivo. Luego, tomará la raíz cuadrada de c 2 para obtener c , que le indica qué tan lejos del centro, ya sea hacia arriba y hacia abajo o hacia la izquierda y la derecha, se encuentran los focos.

Problemas de ejemplo

Ahora, echemos un vistazo a algunos problemas de ejemplo, incluido cómo graficar una elipse.

Problema de ejemplo n. ° 1

Aquí está la ecuación de una elipse:

Identifique el tipo de elipse y luego grafique la elipse.

Esta elipse será horizontal porque el número debajo de la x (25) es mayor que el número debajo de la y (16). El centro de la elipse será (-2, 0) porque h = -2 y k = 0.

Para graficar la elipse, primero tendrá que encontrar los valores de una y b . La raíz cuadrada de 25, o 5, será a , y la raíz cuadrada de 16, o 4, será b .

Ahora graficará el centro (-2, 0); luego muévase a la izquierda y derecha del centro por el valor de a , o 5, y trace dos puntos. Luego, muévase hacia arriba y hacia abajo desde el centro por el valor de b , o 4, y trace dos puntos más. Ahora puede conectar los cuatro puntos que acaba de graficar para dibujar la elipse.

Problema de ejemplo n. ° 2

Hagamos otro. La ecuación de una elipse se muestra aquí:

En primer lugar, es necesario identificar un , b , c , h y k . h y k serán 3 y 2, respectivamente, mientras que a será 3, la raíz cuadrada de 9 yb será aproximadamente 4.47, la raíz cuadrada de 20. Para encontrar c , debes restar 20 – 9 para obtener 11 – que es c 2 – y luego la raíz cuadrada. Encontrará que c es aproximadamente 3.32. Ahora puedes describir la elipse en su totalidad.

El centro de la elipse será (3, 2) y será vertical porque b 2 > a 2 . Tendrá un ancho de 6, 2 a o 2 * 3, y una altura de 8,94, 2 b o 2 * 4,47. Por último, puede graficar la elipse incluyendo sus focos.

Comience en (3, 2) y muévase hacia arriba y hacia abajo en 4.47 unidades y coloque dos puntos. Luego, regrese al centro y muévase hacia la izquierda y hacia la derecha 3 unidades y coloque dos puntos más. Ahora puede conectar estos 4 puntos para dibujar la elipse. Finalmente, regrese al centro, suba y baje 3.32 unidades y dibuje dos puntos para trazar los focos.

Resumen de la lección

Para repasar: si toma un círculo y lo estira en direcciones opuestas, ya sea hacia arriba y hacia abajo o hacia la izquierda y la derecha, terminará con una figura de forma ovalada llamada elipse . Cada elipse tiene un centro ( h , k ) y dos puntos de enfoque o focos . Cuando la ecuación de una elipse se escribe en forma estándar, puede identificar su dirección, horizontal o vertical; su ancho, 2 a ; y su altura, 2 b . Por último, se pueden representar gráficamente una elipse mediante el uso de su centro y los valores que encuentre a una , b , y c partir de su ecuación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador