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Establecer notación: definición y ejemplos

Publicado el 22 noviembre, 2020

El concepto de conjunto

Un conjunto es simplemente una colección de elementos llamados elementos o miembros del conjunto. Cada elemento se distingue de los demás elementos. Los ejemplos de conjuntos son probablemente la mejor manera de ilustrar qué es un conjunto.

Un conjunto podría ser los países de Europa. Francia sería un elemento de este conjunto. El país de Argentina no sería un elemento de este conjunto porque está ubicado en América del Sur. La ciudad de Roma no sería un elemento de este conjunto porque es una ciudad de Europa, no un país de Europa. En el contexto de las matemáticas, un conjunto podría ser todos los números enteros mayores que 10 y menores que 20. Los números 12 y 17 serían elementos de este conjunto, mientras que los números 20 y 35 no serían elementos de este conjunto.

Podemos hacer cualquier tipo de set que queramos. Por ejemplo, podríamos combinar los conjuntos anteriores en uno solo. Los elementos de un conjunto no necesitan tener ninguna relación, excepto que son elementos del mismo conjunto. Por ejemplo, Babe Ruth y el número 1,000,000 podrían estar en el mismo conjunto. Sin embargo, suele haber alguna conexión entre los elementos de un conjunto para que sea práctico y útil.

Las llaves {} se usan generalmente al escribir un conjunto. A menudo es común usar letras mayúsculas para nombrar un conjunto. Digamos que el conjunto A tiene los elementos 3, 5 y 7. Escribimos lo siguiente:

A = {3, 5, 7}

El conjunto A tiene tres elementos. Podemos enumerar los elementos en cualquier orden y podemos enumerar los elementos más de una vez. También podemos escribir el conjunto A de la siguiente manera:

A = {5, 3, 7}
A = {3, 5, 7, 7}

Sin embargo, los elementos no han cambiado y todavía hay solo tres elementos. También podemos tener conjuntos dentro de conjuntos. Eso significa que los conjuntos pueden ser elementos de otros conjuntos. Veamos el siguiente ejemplo:

B = { a , { a }, b , c , { d , e }}

En el conjunto B, hay cinco elementos. Dos de los elementos son conjuntos de letras. Los otros tres elementos son letras simples. Elementos a y { a } no son los mismos porque uno es un conjunto, y el otro no es un conjunto. Además, las letras d y e no son elementos del conjunto B, pero el conjunto { d , e } es un elemento del conjunto B. Esta distinción entre los elementos y conjuntos es sencilla, pero a menudo es una regla difícil de aplicar.

Para conjuntos con muchos elementos, puede resultar útil abreviar utilizando el símbolo de elipse (…). Por ejemplo, el conjunto que contiene todos los números naturales del 1 al 199 sería complicado de escribir por completo. Podríamos abreviar de la siguiente manera:

S = {1, 2, 3,… 199}

Para mostrar que un elemento es parte de un conjunto, usamos un símbolo E con curvas. El número 5 es un elemento en el conjunto S, y esto se muestra en la Figura 1 usando el símbolo E curvo (abajo).

Conjuntos de sistemas numéricos

Usamos ciertas letras para definir varios sistemas numéricos. Esto ayuda a definir mejor los conjuntos y facilitar su escritura. Usaremos las siguientes letras mayúsculas para los respectivos conjuntos de sistemas numéricos:

N = Números naturales {1, 2, 3,. . .}

Z = Enteros {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,. . .}

Q = números racionales

I = números irracionales

R = números reales

Tomemos el conjunto que mencionamos anteriormente de números naturales del 1 al 199. Usando la letra N para los números naturales, podemos escribir el conjunto en notación de conjuntos como se muestra en la Figura 2 (abajo).

Interprete que la línea vertical después de la variable x significa “tal que”. Escribamos ahora este conjunto en palabras: el conjunto A consta de todos los elementos x tales que x es un número natural y x es menor que 200.

Subconjuntos

Consideremos dos conjuntos A y B que se muestran a continuación:

A = {1, 3, 5}
B = {1, 3, 5, 7, 9}

Podemos decir que A es un subconjunto de ‘B debido a que todos los elementos del conjunto A son también elementos del conjunto B . Conjunto A es más específicamente un subconjunto propio de B porque A no es igual a B . En otras palabras, hay algunos elementos en el conjunto B que no están en el conjunto A . Esto también se puede mostrar usando un diagrama de Venn como se muestra en la Figura 3 (abajo).

Unión e intersección de conjuntos

La unión de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos que son miembros de un conjunto u otro. Veamos nuevamente dos conjuntos: A y B :

A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 4}

Usamos una U mayúscula para especificar la unión de dos conjuntos. Entonces AU B = {1, 2, 3, 4}. Observe que ninguno de los conjuntos es un subconjunto del otro.

La intersección de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos que son miembros de ambos conjuntos. Usamos una U invertida para especificar la intersección de dos conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B es {2, 3}. El diagrama de Venn de la Figura 4 muestra la notación adecuada (a continuación).

También podemos mostrar la unión y la intersección de los conjuntos A y B utilizando la notación de conjuntos adecuada como se muestra en la Figura 5 (a continuación).

Cardinalidad de conjuntos / El conjunto vacío

Cubramos una cosa más sobre la notación de conjuntos. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos de un conjunto. Mantendremos esta parte de la discusión dentro de la categoría de conjuntos finitos. Digamos que tenemos el siguiente conjunto: D = {3, 7, 8, 15}. Este conjunto tiene cuatro elementos. Por tanto, la cardinalidad del conjunto D es 4. Para mostrar la cardinalidad en los símbolos, encerramos el nombre del conjunto entre dos líneas verticales:

Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío . Podemos usar las llaves para mostrar el conjunto vacío: {}. Más comúnmente, este símbolo, Ø, se usa para mostrar el conjunto vacío. El conjunto vacío no tiene miembros, por lo que podemos decir que todos los elementos del conjunto vacío son elementos de cualquier otro conjunto. ¿Te suena familiar esta definición? Por lo tanto, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

Resumen de la lección

Revisemos. La notación de conjuntos se utiliza para ayudar a definir los elementos de un conjunto. Los símbolos que se muestran en esta lección son muy apropiados en el ámbito de las matemáticas y en la lógica matemática. Cuando se hace correctamente, un conjunto descrito con palabras o símbolos mostrará claramente todos los elementos de ese conjunto. Al describir un conjunto, debemos asegurarnos de que no habrá ambigüedad para cualquiera que lea el conjunto.

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