Función de costo en cálculo: fórmula y ejemplos

La función de costo: una introducción

¿Cómo determinan las empresas el precio que cobran por vender determinados productos? Aunque pueda parecer aleatorio, las empresas utilizan con frecuencia una función de costo para determinar cuántas unidades de un artículo deben producir y a qué precio deben venderlo. La función de costo es solo una fórmula matemática que da el costo total para producir una cierta cantidad de unidades. Echemos un vistazo más a fondo a la función de costes y veamos cómo funciona.

¿Qué es la función de costo?

La función de costo, generalmente denotada C (x) donde x representa un número positivo y generalmente es un número entero. Si desea saber el costo de producir 50 unidades de un artículo, debe ingresar 50 por cada x en la función de costo y luego, usando el orden de operaciones, simplificar la expresión a una cifra numérica o en dólares.

Usos adicionales de las funciones de costos

Además del costo total, puede usar la función de costo para encontrar el costo promedio y el costo marginal de producción. Para encontrar el costo promedio, simplemente dividirá el costo total por el número total de unidades producidas. El costo marginal o adicional representa el costo de producir una unidad adicional del bien. Si produce 100 cargadores de batería, el costo marginal le dirá cuánto más cuesta producir ese cargador número 100. Para hallar el costo marginal, encontrará el costo total de la unidad y restará el costo total de producir una unidad menos.

Ahora veamos cómo usarías realmente la función.

Problemas de ejemplo

1. La función de costo para producir x neumáticos se da como C (x) = .012 x + 5,000.

Primero, encontremos el costo de producir 1500 neumáticos. Para encontrar esto, simplemente puede ingresar 1500 para x y luego evaluar la función de costo:

C (1500) = .012 * 1,500 + 5,000 = $ 5,018

Por lo tanto, cuesta $ 5,018 producir 1,500 neumáticos.

Ahora, encontremos el costo promedio de producir esos 1500 neumáticos. Para encontrar esto, simplemente divida el costo total, $ 5,018, por la cantidad de neumáticos, 1500. Debería obtener aproximadamente $ 3.35. Tenga en cuenta que, aunque cuesta en promedio $ 3.35 producir cada llanta, el costo individual de producir cada llanta, o el costo marginal, no es de $ 3.35. Veamos por qué.

Para encontrar el costo marginal de producir la llanta número 1500, podemos tomar el costo total de producir 1500 llantas y restar de eso el costo total de producir 1499 llantas.

C (1499) = (.012 * 1499) + 5000 = $ 5017.988

Si ingresa 1499 por x en nuestra ecuación original, debería obtener $ 5,017.99.

$ 5,018 – $ 5017,99 = $ 0,01

Restar estos dos valores da $ .01 o 1 centavo. Por lo tanto, el costo marginal de producir el neumático número 1500 es de aproximadamente un centavo.

2. La función de costo para una empresa de administración de propiedades se da como C (x) = 50 x + 100,000 / x + 20,000 donde x representa el número de propiedades que se administran.

Primero, encontremos el costo de administrar 500 propiedades. Simplemente sustituya x por 500 pulgadas en la fórmula para encontrar la respuesta:

C (500) = (50 * 500) + (100.000 / 500) + 20.000 = 25.000 + 200 + 20.000 = $ 45.200

A continuación, busquemos el punto donde se minimiza el costo total. Es de esperar que recuerde que el mínimo o máximo de cualquier función se puede encontrar tomando su derivada y estableciendo que sea igual a cero para encontrar los puntos críticos. Luego, examinará los puntos críticos para ver si cada uno es un mínimo, un máximo o ninguno.

Para encontrar C ‘(x) , tendrá que usar la regla de la potencia, y puede ser útil reescribir C (x) como C (x) = 50 x + 100,000 x ^ -1 + 20,000. Para C (x) debería obtener:

50 – 100.000 / x ^ 2

Establecerlo igual a cero le da:

0 = 50 – 100.000 / x ^ 2

100.000 / x ^ 2 = 50

100.000 = 50 x ^ 2

2000 = x ^ 2 o x 44,721

Ahora necesitamos ver si este valor es mínimo encontrando el valor de C (x) a cada lado de él. Esto mostrará cómo cambia la pendiente de la función original alrededor del punto crítico, si es que cambia. Por ejemplo, si inserta 44, justo a la izquierda de 44,7, en C (x) , debería obtener -1,653.

C (44) = 50 – 100.000 / (44 ^ 2) = 50 – 100.000 / (1936) = 50 – 51,6529 = -1,653

Si conecta 45, justo a la derecha de 44,7, en C (x) , debería obtener .617. Dado que la pendiente de la función de costo cambia de negativo (-1.653) a positivo (.617), podemos confirmar que 44.7 es de hecho un mínimo. Los cálculos se muestran a continuación.

C (44) = 50 – 100.000 / (45 ^ 2) = 50 – 100.000 / (2025) = 50 – 49,3827 = .617

Sin embargo, dado que generalmente no puede administrar .7 de una propiedad, ahora tendría que comparar 44 y 45 para ver qué valor produce un costo menor al encontrar el costo total de cada uno. Si hace esto, debería encontrar:

C (44) = (50 * 44) + (100.000 / 44) + 20.000 = 2200 + 2272,73 + 20.000 = $ 24.472,73

C (45) = (50 * 45) + (100,000 / 45) + 20,000 = 2250 + 2222.22 + 20,000 = $ 24,472.22

Por lo tanto, administrar 45 unidades minimiza el costo total general.

Resumen de la lección

La función de costo puede permitirle determinar muchas cosas diferentes acerca de un bien o servicio. Puede determinar cuánto costará producir una determinada cantidad de artículos. También puede determinar el costo promedio para producir todos esos artículos y el costo marginal de producir un artículo específico. Finalmente, puede encontrar cuántos artículos minimizarán o maximizarán el costo total de producción.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador