Ceros, raíces e intersecciones en X: definiciones y propiedades

Ceros, raíces e intersecciones x

Suponga que una noche sale a dar un paseo agradable y relajante para calmarse después de un largo día. Comienzas en tu casa y viajas por una ruta de ida y vuelta, terminando donde comenzaste: en tu casa. Al hacer esto, su distancia de su casa puede ser modelada por la función D ( x ) = (- x 2 /400) + ( x / 10), donde x es el número de minutos que ha estado caminando.

Dado que esta función representa tu distancia desde tu casa, cuando el valor de la función es 0, es decir, cuando D ( x ) = 0, estás en tu casa, porque estás a cero millas de tu casa. Obviamente, la primera vez que sale por la puerta para caminar, está en su casa, por lo que a los 0 minutos, D ( x ) = 0. Además, caminó durante 40 minutos en total y aterrizó de regreso en su casa, por lo que a los 40 minutos, D ( x ) = 0.

Tenga en cuenta que estos valores de x que hacen que D ( x ) = 0 la información pertinente acerca de su bodega paseo y sobre la función D . Resulta que estos valores son tan especiales que tienen un nombre especial. Llamamos x = 0 y x = 40 ceros de la función D ( x ). Obtienen este nombre porque son los valores que hacen que la función sea igual a cero.

Los ceros de funciones son extremadamente importantes para estudiar y analizar funciones. De hecho, son tan importantes y tienen tantas propiedades y explicaciones diferentes que también tenemos otros dos nombres para ellos. Esas son raíces e intercepciones x . Cada vez que se nos pide que encontremos los ceros, raíces o intersecciones en x de una función f ( x ), se nos pide que encontremos qué valores de x hacen que f sea cero. Es decir, ¿qué valores de x hacen que el enunciado f ( x ) = 0 sea verdadero?

Propiedades

Bien, ahora que sabemos qué son los ceros, las raíces y las intersecciones x , hablemos de algunas de sus muchas propiedades. Ya hemos visto la propiedad de que estos valores de x son los valores que hacen que una función sea igual a cero.

Esta propiedad es una propiedad algebraica de ceros, raíces e intersecciones con x . Echemos un vistazo a una propiedad geométrica de estos valores. Para ello, vamos a examinar la gráfica de nuestro ejemplo paseo función D ( x ) = (- x 2 /400) + ( x / 10).

¿Recuerda que dijimos que los ceros de D ( x ) eran x = 0 y x = 40? Bueno, ¿notas algo especial en estos valores de x en la gráfica de D ( x )? Si estás pensando que la gráfica cruza el eje x en estos valores x , ¡has encontrado la conexión! La gráfica de una función cruza el eje x donde su valor de función es cero. Es por eso que también llamamos ceros de una función x intercepciones de una función. Esto demuestra una conexión bastante clara entre las propiedades algebraicas y geométricas de las funciones, ¿no crees?

Ejemplo

Consideremos otro ejemplo de cómo los ceros, las raíces y las intersecciones en x pueden darnos una gran cantidad de información sobre una función. Suponga que cierta empresa vende un producto por $ 60 cada uno. Los costos iniciales de la empresa son de $ 1000 y les cuesta $ 20 fabricar un producto. Con base en esta información, los ingresos de la empresa se pueden representar mediante la función R ( x ) = 60 x , donde x es el número de productos fabricados y vendidos, y el costo de la empresa se puede representar mediante la función C ( x ) = 20 x + 1000, donde xes el número de productos fabricados y vendidos. Para encontrar la función que representa las ganancias de la empresa, restamos la función de costo de la función de ingresos.

Vemos que el beneficio de la empresa se puede representar mediante la función P ( x ) = 40 x – 1000, donde x es el número de productos fabricados y vendidos. Consideremos los ceros de esta función. Podemos encontrarlos estableciendo P ( x ) = 0 y resolviendo para x , o podemos graficar la función y encontrar las intersecciones con x . Hagamos ambas cosas y asegurémonos de obtener el mismo resultado. Primero, establecemos P ( x ) = 0 y resolvemos para x .

Vemos que P tiene un cero que es x = 25. También podemos observar esto en la gráfica de P ( x ).

Vemos que la intersección con el eje x de P ( x ) es x = 25, como esperábamos.

Pensemos en lo que nos dice esta intercepción x sobre las ganancias de la empresa. Cuando P ( x ) = 0, la utilidad de la empresa es de $ 0 y encontramos que esto sucede cuando x = 25, o cuando se fabrican y venden 25 productos. Esto nos dice varias cosas.

1. Cuando se fabrican y venden 25 productos, este es nuestro punto de equilibrio.
2. Para cubrir el costo, la empresa debe vender al menos 25 productos.
3. Para ganar dinero, la empresa debe vender más de 25 productos.
4. Cuando se venden 25 productos, ingresos = costo.

Y esto es solo para nombrar algunas cosas que podemos deducir simplemente al conocer los ceros de la función en este problema. ¡Vemos que los ceros, las raíces y las intersecciones con x son increíblemente útiles para analizar funciones!

Resumen de la lección

Los ceros , las raíces y las intersecciones con x son nombres de valores que hacen que una función sea igual a cero. Estos valores tienen un par de propiedades especiales.

1. Algebraicamente, los ceros, las raíces o las intersecciones en x de una función f ( x ) son los valores de x que hacen que el enunciado f ( x ) = 0 sea verdadero.
2. Geométricamente, ceros, raíces o intersecciones con x de una función f ( x ) son los valores de x donde la gráfica de la función f cruza el eje x .

Como hemos visto, los ceros de una función son extremadamente útiles para trabajar y analizar funciones y sus aplicaciones. Por esta razón, es una gran idea familiarizarse con este concepto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador