Teorema fundamental
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El teorema fundamental del cálculo dice que la integral de una a de b de f (x) dx es igual a la primitiva de f (x) evaluada en b menos la primitiva de f (x) evaluada en una , o F (b) – F ( a) . Aquí, llamo a F (x) una antiderivada de f (x) . Entonces dF / dx = f (x) ; esa es la antiderivada.
Digamos que f (x) = 1, y estás tratando de encontrar una antiderivada de f (x) . Eso significa que está tratando de encontrar una función para la cual, si diferencia, obtendrá 1. Probemos la función x . Si tomo la derivada de x con respecto ax , obtengo 1. Entonces, x es una antiderivada de 1. Pero digamos que tomo F (x) = x + 3. Si tomo la derivada de x + 3, todavía obtengo 1, por lo que x + 3 también es otra antiderivada de 1. Es lo mismo si tomo F (x) = x – 47 / pi . La derivada de x– 47 / pi sigue siendo solo 1. De hecho, podría tomar cualquier función que se parezca a F (x) = x + C ( siendo C una constante), porque la derivada de x + C es la derivada de x más la derivada de C . Eso es igual a 1 + 0, o 1. ¿Cómo podría ser esto cierto?
Antiderivadas
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Veamos un ejemplo. Digamos que yo quiero saber la integral de una a b de 1 dx . Por lo tanto, este es el área bajo la curva y = 1 entre x = un y x = b . Según el teorema fundamental, esto es igual a F (b) – F (a) . Pero acabamos de encontrar cuatro antiderivadas diferentes. Probemos uno; digamos que usamos F (x) = x . Según el teorema fundamental, la integral de a a b de 1 dx = b – a . Entonces mi derivada es igual ab – a . Esto tiene mucho sentido si lo pienso en un gráfico. Solo estoy encontrando el área debajo de una línea recta, por lo que en realidad será un rectángulo . La altura de mi rectángulo es 1 y el ancho es b – a . Entonces el área es 1 ( b – a ) o b – a . Esta primera antiderivada, donde solo usamos x como la antiderivada, nos da exactamente lo que esperaríamos.
Pero, ¿y si usamos la antiderivada x – 47 / pi ? El lado izquierdo seguirá siendo el mismo; todavía estamos encontrando la integral de una a b de 1 dx . En el lado derecho, ahora usaremos la función x – 47 / pi . Si evalúo esto en x = b , obtengo b – 47 / pi . Voy a restar de eso mi antiderivada en x = a , que es a – 47 / pi . Si amplío este término, obtengo b – 47 / pi – a+ 47 / pi . De hecho, puedo cancelar esto – 47 / pi + 47 / pi , y nuevamente, obtengo b – a . De hecho, puedo usar cualquier antiderivada en el teorema fundamental, pero tiene más sentido usar las que no tienen constantes. Que podría utilizar, para el caso de f (x) = 1, cualquier antiderivative que es F (x) = x + C . Tiene más sentido, y no tengo que hacer ninguna simplificación, si elijo que mi constante sea 0.
¿Entonces cuál es el punto? Considere su velocidad como una función del tiempo, y el tiempo va de t = a a t = b . Si integro la velocidad de a a b , entonces obtengo el área bajo la curva de a a b . Es decir, la distancia que he viajado de vez en un a tiempo b . ¿Eso me dice dónde estoy en un momento dado? No, solo me dice qué tan lejos he llegado en un período de tiempo. Para saber dónde estoy, tengo que saber dónde comencé. El hecho de que haya recorrido 30 millas no significa que esté en Las Vegas, podría significar que estoy en Kalamazoo. Todo depende de dónde comencé.
¿Qué son los cereales integrales? – Tipos, fuentes y ejemplos
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Integrales indefinidas como antiderivadas
Hagamos esto un poco más concreto. Definamos la integral indefinida . La integral indefinida es la integral del integrando, f (x) dx donde x es una variable de integración. Aquí no tengo límites superiores e inferiores. La integral indefinida de f dx (x) es igual a una primitiva de x más algo de constante de integración, o F (x) + C . Es decir, si tomo la derivada del lado derecho, obtendré f (x) .
¿Qué importa todo esto? Digamos que mi velocidad es de 30 mph. Este es dx / dt , mi cambio de posición a lo largo del tiempo. Puedo tomar esta función v = dx / dt , multiplicar ambos lados por dt e integrar. No me estoy integrando durante un período de tiempo determinado, porque tal vez no sé cuánto tiempo voy a estar en la carretera. Solo sé que siempre iré a 30 mph. Entonces voy a tomar la integral indefinida de ambos lados de la ecuación. Vamos enchufe en el 30 por mi velocidad, y tengo la integral indefinida de 30 dt = 30 t + C . Esta es una antiderivada de 30; si tomo la derivada de esto, obtendré 30. La integral de dx es solo x+ C , porque puedo tomar la derivada de x + C y obtener 1. Mi ecuación se convierte en 30 t + C = x . ¿Por qué hice esto? Ahora tengo mi posición, x , en cualquier momento dado, solo dada mi velocidad. ¿Qué pasa con esta C ? Eso es un desconocido; Simplemente lo llamé una constante de integración. Recuerde, si solo conozco mi velocidad en función del tiempo, necesito saber dónde comencé para saber dónde estoy, qué tan cerca estoy de Las Vegas. Digamos que en t = 1 hora, estaba a 60 millas de casa. Pongamos eso en mi ecuación, 30 t + C = x . Xes 60 y t = 1, por lo que 60 = 30 + C . Si resuelvo esto, obtengo mi constante de integración como 30. Entonces puedo escribir mi ecuación para una posición en función del tiempo como x = 30 t + 30.
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Ahora, dado un solo punto y mi velocidad, sé exactamente dónde estoy en un momento dado. Al usar una integral indefinida en lugar de una integral definida, encontré mi posición para cualquier momento, en lugar de donde estoy en un determinado momento. Aquí hay una ligera diferencia; esto es un poco más amplio.
Resumen de la lección
Así que repasemos. El teorema fundamental del cálculo dice que la integral de a a b de f (x) dx = F (b) – F (a) . Del mismo modo, la integral indefinida de f dx (x) = F (x) + C .
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