Calcular áreas
Calcular el área de una forma plana que tiene lados rectos es bastante simple: corte el área en rectángulos y triángulos, aplique algunas matemáticas básicas para calcular el tamaño de las formas individuales y luego sume todas las piezas.
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Pero, ¿qué se puede hacer cuando introducimos curvatura en nuestra forma? El siguiente ejemplo se parece a la primera forma, pero su parte superior es bastante curvilínea. ¿Existe un método generalizado que podamos utilizar para calcular el área contenida en esta figura?
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Integrales definidas
Tras la inspección, puede reconocer que la imagen se asemeja a un gráfico en el espacio de coordenadas XY, donde la línea curva en la parte superior representa una función numérica relativamente compleja. Utilizando el cálculo, podemos calcular el área bajo la curva para tal función utilizando una integral definida . Una integral definida define explícitamente el área bajo una curva entre puntos finales fijos.
Sin embargo, no necesitamos el cálculo para derivar una estimación razonablemente buena del área contenida dentro de una función acotada. De hecho, podemos usar una forma de nuestro método de cálculo anterior, usando formas planas básicas, para dar una aproximación razonablemente precisa del área encontrada bajo cualquier función.
Sumas de Riemann
Para hacer esta aproximación podemos utilizar sumas de Riemann . En este enfoque, el espacio entre los puntos finales debajo de la curva se divide en varias formas, generalmente rectángulos simples. Estos rectángulos suelen tener el mismo ancho, pero cada uno tendrá diferentes alturas. El número de rectángulos que elegimos usar para la suma determina el ancho de los rectángulos, mientras que un punto representativo en la función asociada con cada rectángulo determina las alturas individuales.
Matemáticamente, la aproximación de las sumas de Riemann se ve así:
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El punto representativo utilizado para la altura puede tomarse de cualquier lado del rectángulo, o del punto medio, o incluso de alguna distancia arbitraria a lo largo de los anchos de los rectángulos. Cada cálculo será ligeramente diferente, pero todos los métodos son esencialmente correctos, ya que solo estamos aproximando el valor de área.
Aquí tenemos una ilustración de este enfoque donde queremos medir el área bajo la curva desde el punto a al punto b . En este ejemplo, estamos usando solo cuatro rectángulos a lo ancho, así como la altura del lado izquierdo para cada rectángulo.
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Usando solo cuatro rectángulos, vemos que la aproximación es bastante burda. El área debajo de la función no está muy bien representada por nuestros rectángulos, y vemos que hay algunos errores bastante significativos tanto de subproximación como de sobreaproximación. Para abordar este problema, podemos aumentar el número de rectángulos utilizados en la suma.
Aquí está la misma aproximación usando aproximadamente 4 veces más rectángulos.
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Aquí los rectángulos representan la forma de nuestra curva con mucha más precisión. Cada uno de los errores es mucho menor, por lo que tenemos una mayor confianza en la precisión de la aproximación del área. De esto vemos que una de las claves para el uso de las sumas de Riemann es que la aproximación continuará mejorando a medida que aumente el número de rectángulos. De hecho, esto nos lleva directamente a la comprensión de la integral definida. Podemos razonar que cuando el número de rectángulos usados en el cálculo se acerca al infinito, la aproximación se acerca al valor real para el área bajo la curva.
Aquí está la ecuación exacta para un cálculo integral definido desde algún punto a hasta algún punto b a lo largo de una ecuación f (x) . Esta suma se expresa como el límite de las sumas de Riemann, ya que el número de rectángulos se acerca al infinito y su ancho se vuelve infinitesimalmente pequeño.
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Ejemplo de cálculo
Suponga que nuestros datos se pueden representar mediante la función y = x 2 , y queremos calcular el área bajo la curva de 0 a 3. Usando la notación anterior, a = 0, b = 3 y f ( x ) = x 2 .
Primero, derive todos los valores que se utilizarán para el proceso de suma:
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A continuación, conectamos estos valores nuevamente en nuestra ecuación de sumas de Riemann y aislamos el término i :
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A partir de esto, podemos aprovechar el hecho de que la suma de i 2 de 1 an se puede expandir como una fracción en términos de n :
( n ) ( n + 1) (2 n + 1) / 6
Esto nos permite reordenar la ecuación y multiplicar y distribuir los n términos de la siguiente manera:
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Resumen de la lección
Una integral definida define el área debajo de una curva. Este valor se puede aproximar utilizando sumas de Riemann . En este cálculo, el área se estima sumando las extensiones de área individuales de un número de rectángulos que encajan dentro de algún área acotada de la función. Al aumentar el número de rectángulos usados en el cálculo, la aproximación se acercará al valor real del área bajo la curva.
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