La propiedad de cierre de los números reales

Conjuntos de números y propiedad de cierre

Emociónese porque estamos a punto de aprender sobre una propiedad realmente divertida de los números reales: la propiedad de cierre de los números reales. Esta propiedad es divertida de explorar. Nos da la oportunidad de familiarizarnos con los números reales. Antes de llegar a la propiedad de cierre real de los números reales, familiaricémonos con el conjunto de números reales y la propiedad de cierre en sí.

Es probable que esté familiarizado con los números. Después de todo, los usa todos los días de una forma u otra. Sin embargo, ¿sabías que los números en realidad tienen clasificaciones?

Cuando clasificamos diferentes tipos de números usando diferentes propiedades de esos números, los llamamos conjuntos . Podemos dividir todos los números en conjuntos de números naturales, números enteros, números enteros, números racionales, números irracionales, números reales y números imaginarios. Todos estos están definidos en la siguiente imagen:

En esta lección, trabajaremos con números reales. En la imagen, vemos que los números reales consisten en todos los conjuntos de números con los que normalmente trabajamos.

Es decir, incluyen:

• Los números naturales {1,2,3, …}
• Los números enteros {0,1,2,3, …}
• Los enteros {…, – 3, -2, -1,0,1,2,3, ….}
• Los números racionales { p / q , donde p y q son números enteros}, y
• Los números irracionales {todos los decimales no repetidos y no terminales}

De hecho, los números reales consisten en todos los conjuntos de números excepto los números imaginarios { a + b i , donde a y b son números reales e i = sqrt (-1)}. Por eso se les llama números reales, ¡no son imaginarios!

Ahora que estamos familiarizados con los números reales, exploremos algunas propiedades de estos números. Estamos hablando de propiedades de cierre . Se dice que un conjunto de números se cierra bajo una determinada operación si cuando esa operación se realiza en dos números del conjunto, obtenemos otro número de ese conjunto como respuesta.

Propiedades de cierre de números reales

Los números reales se cierran en dos operaciones: suma y multiplicación. También podríamos decir que los números reales se cierran bajo resta y división, pero esto en realidad se cubre con la suma y la multiplicación porque podemos convertir cualquier problema de resta o división en un problema de suma o multiplicación, respectivamente, debido a la naturaleza de los números reales.

Dicho esto, es posible que se pregunte sobre el número 0 cuando se trata de división porque no podemos dividir entre 0. ¡Bueno, aquí hay un hecho interesante! Dado que x / 0 se considera indefinido, los números reales se cierran bajo división, y da la casualidad de que la división por cero se definió de esta manera para que los números reales pudieran cerrarse bajo división.

Echemos un vistazo a las propiedades de cierre de suma y multiplicación de los números reales. Debido a que los números reales se cierran bajo la suma, si sumamos dos números reales, siempre obtendremos un número real como respuesta. Esto se muestra en la imagen a continuación, siendo z nuestro número real:

Como dijimos anteriormente, cualquier problema de resta de números reales puede convertirse en un problema de suma, y ​​dado que los números reales se cierran con la suma, también podemos estar seguros de que se cierran con la resta. El cambio de la resta a la suma se realiza de la siguiente manera:

x – y = x + (- y )

Los números reales también se cierran mediante la multiplicación, por lo que si multiplicamos dos números reales cualesquiera, la respuesta será un número real, como se muestra en esta imagen:

Nuevamente, mencionamos que cualquier problema de división de números reales puede convertirse en un problema de multiplicación de números reales, por lo que los números reales también se cierran bajo división (excluyendo la división por 0, ya que no está definida). El cambio de división a multiplicación se realiza de la siguiente manera:

x / y = x * (1 / y )

Ejemplo

Probemos un breve ejemplo:

Supongamos que está equilibrando los libros de su negocio y está trabajando con números reales. La suma y la multiplicación están bien porque sabes que vas a recuperar un número real, y los números reales tienen sentido cuando se trata de dinero.

Sin embargo, ¿qué pasaría si terminaras intentando aplicar la operación de sacar la raíz cuadrada? Suponga que terminó con el número real -11. Esto tiene sentido en términos de dinero, significa que tienes once dólares en el hoyo, pero supongamos que sacaste la raíz cuadrada de ese número:

¡UH oh! Como puede ver, terminó con sqrt (11) * i , que es un número imaginario. Esto se debe a que los números reales no se cierran con la operación de sacar la raíz cuadrada. No puedes tener una cantidad de dinero imaginaria. Los números imaginarios no tienen sentido cuando se trata de valor monetario. Vemos la importancia de saber qué operaciones darán como resultado números que tengan sentido dentro de un escenario dado.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Los números reales son todos los números con los que normalmente trabajamos. Es decir, números enteros, fracciones, números racionales e irracionales, etc. Las propiedades de cierre dicen que un conjunto de números se cierra bajo una determinada operación si y cuando esa operación se realiza en números del conjunto, obtendremos otro número de ese conjunto.

Los números reales se cierran bajo suma y multiplicación. Debido a esto, se deduce que los números reales también se cierran mediante la resta y la división (excepto la división por 0).

Estar familiarizado con los diferentes conjuntos de números y las operaciones bajo las que se cierran es extremadamente útil cuando se trata de diferentes tipos de números en el mundo real. Cuanto más familiarizado esté con los diferentes tipos de números y sus propiedades, más fácil será trabajar con ellos en situaciones del mundo real.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador