Notación de intervalo: definición y ejemplos

Definición de notación de intervalo

Hay muchos pequeños trucos que se utilizan para simplificar problemas e información en matemáticas. La notación de intervalo es uno de ellos. Cuando expresamos un conjunto de números reales usando puntos de inicio y final además de corchetes y paréntesis, estamos usando notación de intervalo. Echemos un vistazo más de cerca a cómo funciona esto.

Digamos que está buscando un nuevo servicio de telefonía celular. Tiene dos opciones: puede renovar su contrato con su proveedor actual y obtener un teléfono nuevo gratis, o puede comprar un teléfono por el precio completo y usar un proveedor prepago con un plan mensual más económico. Hace los cálculos y descubre que durante los meses 1 a 15, el plan de contrato es más barato, pero después de 15 meses, el proveedor de servicios prepagos se convierte en la opción más barata.

Ahora bien, si compartiera esta información con uno de sus amigos, no diría:

Si utilizo mi nuevo servicio telefónico durante uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce, trece, catorce y quince meses, es más barato permanecer con mi proveedor actual, pero si planeo usarlo durante dieciséis, diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, etc. meses, el transportista prepago es más barato.

Eso es una locura. Nadie habla así. En cambio, lo simplificaría para su amigo y le diría algo como:

Si me quedo con el teléfono hasta por 15 meses, el plan del contrato es más económico, pero si lo uso por 16 meses o más, el plan prepago sería más económico.

En otras palabras, no enumeraría todas las posibilidades que se aplican a ambas situaciones.

Toda una gama de posibilidades con un inicio y / o un punto final se denomina conjunto en matemáticas. Un conjunto es un grupo de elementos únicos que no se repiten o, en el caso del ejemplo del teléfono, números que representan meses. Un conjunto podría ser la cantidad de meses en los que es más barato extender su contrato. Otro conjunto podría ser la cantidad de meses en los que es más barato pagar el teléfono y cambiar a un operador de prepago. Un tercer conjunto podría ser meses donde los costos sean exactamente iguales. La notación de intervalo es una buena forma de expresar estos conjuntos en matemáticas. Echemos un vistazo a cómo funciona realmente la notación de intervalo.

Conjuntos de escritura en notación de intervalo

Antes de poder escribir un conjunto en notación de intervalo, es necesario determinar dos cosas. Primero, debe determinar los puntos finales del intervalo. Los puntos finales son el intervalo de números entre un punto y otro. En nuestro ejemplo de teléfono de plan de contrato, los puntos finales eran 1 y 15. Los puntos finales pueden ser números, infinito positivo o infinito negativo. Lo segundo que debe determinar es qué tipo de intervalo tiene.

• En un intervalo abierto , ambos criterios de valoración no se incluyen en el intervalo. Está escrito en el formato (a, b) donde ayb son los puntos finales.
• En un intervalo cerrado , los puntos finales se incluyen en el intervalo. Está escrito en la forma que se muestra a continuación, donde ayb son los puntos finales.

Por lo tanto, un paréntesis indica un punto final abierto (punto final no incluido) y un paréntesis indica un punto final cerrado (el punto final está incluido). Cuando hay una combinación de un punto final incluido y un punto final no incluido, el intervalo tendrá cada lado identificado por el tipo de su punto final. Por ejemplo, (2, 6] sería un intervalo de izquierda-derecha, derecha-cerrada, ya que el extremo izquierdo no está incluido en el intervalo, pero el extremo derecho sí. El siguiente es un ejemplo de un intervalo de izquierda-derecha-abierta ya que el punto final izquierdo, -1, se incluye en el intervalo y el punto final derecho, 10, no se incluye.

Cuando un final del intervalo continúa para siempre hasta el infinito positivo o negativo, entonces el intervalo se identificará como abierto o cerrado a la derecha o izquierda, dependiendo de qué lado tenga un punto final numérico (esto determinará si es derecho o izquierdo) y si ese punto final está incluido o no (abierto o cerrado). El siguiente intervalo es un intervalo cerrado por la izquierda porque hay un punto final numérico solo en el lado izquierdo y está cerrado porque -1 está incluido en el intervalo.

Sin embargo, el siguiente ejemplo es un intervalo abierto a la derecha porque solo el lado derecho tiene un punto final numérico, 0, y no está incluido en el intervalo.

Una vez que haya determinado los puntos finales y el tipo de intervalo, puede expresar cualquier desigualdad o conjunto de números en una notación de intervalo.

Volviendo al ejemplo del teléfono, los conjuntos que encontramos se pueden escribir como desigualdades. En los meses 1 a 15, es más barato extender su contrato y obtener un teléfono gratis. Esto se puede escribir como:

En el ejemplo, x representa la cantidad de meses que planea usar el teléfono.

Durante 16 meses y más, es más económico comprar el teléfono al costo total y cambiar a un operador de prepago. Esto se puede escribir como:

Ahora, vamos a expresar esas desigualdades en notación de intervalo. Para el primer conjunto, que representa todos los meses en los que es más barato extender el contrato, tenemos puntos finales de 1 y 15. ¿Están incluidos en el conjunto? Sí, ya que puede tener servicio de teléfono celular por solo 1 mes, se incluirá 1 en el conjunto y tendrá un corchete al lado. El punto final 15 debe incluirse si puede tener servicio durante 15 meses (sí, puede), y es más barato por 15 meses de servicio extender su contrato (sí, lo es). Por lo tanto, se incluirán 15 y también tendrán un soporte.

Entonces, la notación de intervalo del conjunto que representa los meses en los que es más barato extender su contrato sería:

Tenga en cuenta que es un intervalo cerrado ya que ambos extremos están incluidos en él. Ahora, echemos un vistazo al otro conjunto.

Para el segundo intervalo, que representa todos los meses en los que es más barato comprar el teléfono y usar el operador de prepago, un punto final es 16, ya que a los 16 meses se vuelve más barato comprar el teléfono. Pero, ¿cuál es el otro punto final de la desigualdad? Si lo piensa, realmente no hay límite en la cantidad de meses que puede permanecer con el nuevo proveedor de prepago. En otras palabras, te saldrá más barato después de 16 meses, 17 meses, 18 meses, 19 meses, 20 meses, etc., y podrás seguir contando la cantidad de meses para siempre. Por lo tanto, solo hay un punto final numérico para este intervalo (16) ya que puede continuar hasta el infinito positivo. Esto coincide con la desigualdad que escribimos, porque no hay límite superior en el que x debe ser menor que:

El conjunto que representa los meses en los que es más barato comprar su teléfono y cambiar de proveedor es un intervalo cerrado a la izquierda, ya que 16 está incluido en él, pero el infinito positivo no es por definición:

Problemas de ejemplo

Veamos algunos problemas de ejemplo.

1. Escribe las siguientes desigualdades en notación de intervalo e identifica el tipo.

x <-5

Esta desigualdad representa todos los números que son menores que -5 y van al infinito negativo. Por tanto, en notación de intervalo se escribiría como:

Hay un paréntesis en -5 porque no está incluido en el intervalo. El tipo de intervalo está abierto a la derecha.

2. Escribe las siguientes desigualdades en notación de intervalo e identifica el tipo.

Esta desigualdad representa todos los números mayores que 0 y menores o iguales que 20. Por lo tanto, el extremo izquierdo, 0, está abierto, pero el extremo derecho, 20, está cerrado. La notación de intervalo es (0,20] y el tipo de intervalo es izquierda-abierta, derecha-cerrada.

3. Escribe la siguiente desigualdad compuesta en notación de intervalo: x <2 o x > 7

La primera desigualdad representa todos los números menores que, pero sin incluir, 2. Por lo tanto, pasaría de infinito negativo a 2, que tendrá un paréntesis:

La segunda desigualdad representa todos los números desde el 7, no incluidos, hasta el infinito positivo:

Entonces, la respuesta completa para este problema de ejemplo se ve así:

4. La siguiente gráfica muestra una desigualdad graficada en una recta numérica. Escribe un intervalo que represente la desigualdad que se muestra:

El extremo izquierdo, -1, tiene un círculo cerrado, lo que indica que está incluido en el conjunto. Por lo tanto, -1 tendrá un corchete. El extremo derecho, 3, tiene un círculo abierto, lo que indica que no está incluido en el conjunto y tendrá un paréntesis. Entonces, estaría escrito así:

Resumen de la lección

Revisemos. Cualquier conjunto de números reales se puede escribir en notación de intervalo . Hay dos tipos de intervalos: intervalos abiertos , donde ninguno de los puntos finales está incluido en el conjunto y el intervalo tendrá paréntesis en ambos lados, e intervalos cerrados , donde los puntos finales se incluyen como lo indican los corchetes en ambos lados.

Cuando hay una combinación de un punto final incluido y un punto final no incluido, el intervalo tendrá cada lado identificado por el tipo de su punto final. Por ejemplo, (2,6] sería un intervalo cerrado a la derecha y abierto a la izquierda, ya que el punto final izquierdo no está incluido en el intervalo, pero el punto final derecho sí. La notación de intervalo se puede usar cuando se le da una desigualdad, un gráfico en una recta numérica, o incluso una declaración que describe un conjunto de números.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador