Definición de paramétricos
La paramétrica implica el uso de una tercera variable, t, para reescribir una sola función, y = f (x), en dos ecuaciones separadas en términos de t, x (t) e y (t). En problemas paramétricos, t se conoce como el parámetro , mientras que x (t) e y (t) se conocen como ecuaciones paramétricas .
¿Por qué paramétricos?
Las ecuaciones paramétricas son ventajosas cuando se trabaja con variables xey que no tienen una relación directa. Por ejemplo, en física se le puede pedir que determine qué tan lejos llegará una pelota si se patea a 15 m / s con un ángulo de 45 °. Las distancias máximas verticales y horizontales son de 25 y 17 metros, respectivamente. En otras palabras, la pelota viaja aproximadamente 1,5 veces más en vertical que en horizontal. Por tanto, ¿no sería correcto afirmar que y = 1,5x?
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Concluir que y = 1.5x implica que la razón por la que la pelota alcanza los 25 metros verticales es porque viajó 17 metros horizontales, lo cual es incorrecto. Las distancias horizontales y verticales recorridas no están directamente relacionadas. Están indirectamente relacionados en el sentido de que ambos dependen de 1) cómo se pateó la pelota y 2) cuánto tiempo pasó la pelota en el aire (una tercera variable conocida como t).
El problema de la física dependiente del tiempo es una aplicación tan común de la paramétrica que la letra t parecía la elección de variable más natural.
Tipos de curvas paramétricas
Los tres tipos de curvas paramétricas que es más probable que encuentre en sus estudios son:
Escribir ecuaciones y fórmulas: Componentes, métodos y ejemplos
- Elipses
- Círculos
- Parábolas
Las ecuaciones paramétricas asociadas con círculos y elipses son muy similares; sin embargo, las parábolas varían demasiado para generalizar (ver Tabla 1).
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Graficar ecuaciones paramétricas
En este ejemplo, veremos cómo las ecuaciones paramétricas nos brindan la oportunidad de descubrir detalles importantes sobre un gráfico.
Ejemplo: graficar una elipse
Grafique la curva paramétrica asociada con las siguientes ecuaciones:
x = -4cos (2t)
y = 3sin (2t)
Teoría de la relatividad: definición, ecuaciones y ejemplos
El primer detalle importante que podemos obtener de nuestras expresiones paramétricas es el rango de valores necesarios para crear una curva completa. Una elipse, como un círculo, se extiende a 360 grados. Las entradas superiores a 360 grados solo darían lugar a un retroceso de la misma ruta. Si nuestra entrada varía de 0 a 360 grados, entonces nuestro parámetro t en este problema, que se está multiplicando por 2, debe abarcar de 0 a 180 grados (360 grados divididos por 2).
El segundo detalle importante que puede encontrar al examinar las ecuaciones paramétricas de una curva es algo llamado dirección del movimiento. Para determinar la dirección de movimiento de esta elipse, resuelva cada ecuación paramétrica para el rango apropiado de t (Tabla 2) y luego grafique. Tenga en cuenta que el parámetro utilizado para calcular xey no aparecerá en el gráfico.
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A medida que traza los resultados de la Tabla 2, observe que cada punto subsiguiente requiere un movimiento en el sentido de las agujas del reloj a medida que avanza para completar la elipse. Por tanto, la dirección del movimiento es en el sentido de las agujas del reloj, que se ha indicado con una flecha direccional en el Gráfico 1.
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Otro punto interesante sobre este gráfico es que podría haberse generado de muchas formas diferentes con un ligero ajuste a nuestras ecuaciones originales (llamémoslas V1). Para demostrarlo, podemos comparar V1 con ecuaciones similares dadas en la Tabla 3.
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Si graficara las ecuaciones V2, obtendría la misma gráfica que V1; sin embargo, requeriría el doble de rango. Si piensa en el parámetro como tiempo, V2 traza la trayectoria elíptica a la mitad de la velocidad que V1. Puede confirmar que los tres gráficos (V1, V2 y V3) parecen iguales usando GraphSketch, una gran utilidad en línea para ecuaciones paramétricas.
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El poder de la paramétrica
Acabamos de ver dos ventajas de usar ecuaciones paramétricas, pero hay una más que considerar. En ciertos casos, las ecuaciones paramétricas son más simples y menos confusas que cualquier otro formato.
Tome las ecuaciones paramétricas que acabamos de graficar, por ejemplo. Podemos convertir a la ecuación rectangular equivalente y comparar.
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La primera ecuación en caja es el equivalente rectangular de nuestras ecuaciones paramétricas. ¿Reconoces esto como una elipse, o parece un griego total?
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Si eres un mago de la trigonometría, entenderás cómo podrías simplificar la ecuación rectangular para producir la segunda ecuación en caja. De lo contrario, siga las ecuaciones paramétricas y evite las molestias adicionales.
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Para ver el poder de los paramétricos en acción, visite el sitio web GraphSketch e ingrese lo siguiente:
x (t) = cos (10t)
y (t) = sin (8t)
¿Puedes imaginar la ecuación rectangular equivalente para este intrincado gráfico?
Resumen de la lección
En esta lección, aprendimos que la paramétrica es el uso de una tercera variable (un parámetro llamado t) para crear dos ecuaciones independientes. Las ecuaciones paramétricas son útiles cuando dos variables (x, y) están relacionadas indirectamente por una tercera variable como el tiempo. Graficar ecuaciones paramétricas revelará más que solo la forma de una curva, sino también cómo se viajó la ruta (es decir, dirección y velocidad). Ahora se le ha proporcionado una descripción completa de los conceptos básicos de la paramétrica; buena suerte en el examen final de la lección!
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