Polígonos similares
¿Qué queremos decir cuando decimos que tenemos polígonos similares ? Significa que los ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y los lados correspondientes tienen longitudes proporcionales.
Por ejemplo, en este dibujo, puede ver que los ángulos correspondientes de ambos polígonos, etiquetados de la a a la e , son todos iguales.
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Cada lado del polígono más grande es dos veces más largo que el lado correspondiente del polígono más pequeño, por lo que los lados son proporcionales en una proporción de 2: 1. Eso significa que estos dos polígonos son similares. Los perímetros de los polígonos también serán proporcionales en la misma proporción.
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Si sabes que dos polígonos son similares, puedes usar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de un polígono para ayudarte a calcular las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del otro. En esta lección, veremos algunos problemas de práctica para darle una idea.
Problema 1
Polygon A es similar a Polygon B . El perímetro del polígono A es de 15 metros. El perímetro del polígono B es de 10 metros. x = w e y = v . Dado que la longitud del lado w 1 es de 3 metros, ¿cuál es la longitud del lado x ?
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Si no sabe qué hacer con un problema como este, un buen primer paso es marcar el diagrama con toda la información proporcionada. El problema nos dice que el perímetro de A es de 15 metros y el perímetro de B es de 10 metros. Si simplificamos que, obtenemos una proporción de 1,5 a 1, lo que significa que cada lado del polígono A es de 1,5 veces tan largo como el lado correspondiente del polígono B . Usaremos esto para simplificar el diagrama. Sabemos que w 1 es igual a 1,5 veces w , así que en lugar de w 1, escribiremos 1,5 w . Lo mismo ocurre con todos los lados del Polígono A , por lo que los reemplazaremos todos.
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El problema también nos dice que w 1, que acabamos de renombrar como 1.5 w , es igual a 3. Si 1.5 w = 3, entonces w debe ser igual a 3 / 1.5, lo que significa que w = 2. El problema nos dice que x = w , entonces x también debe ser 2.
Problema 2
¿Listo para algo un poco más complicado? Sabes que tienes esto. Las dos flechas que se muestran son polígonos congruentes.
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La medida del ángulo a es 60 grados y la medida del ángulo b también es 60 grados. La longitud del lado x es 1/3 de la longitud del lado y . La longitud del lado y es de 12 pulgadas. ¿Cuál es el área de la región que se muestra en verde?
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Muy bien, comencemos escribiendo todo lo que sabemos en el diagrama. Sabemos que los ángulos A y B son ambos de 60 grados, así que comenzaremos marcando eso en ambas formas. El problema nos dice que y = 12, así que también lo escribiremos en el diagrama. La longitud de x es 1/3 de la longitud de y , por lo que el lado x es 4.
Ahora mire el ‘punto’ de cada flecha como un triángulo.
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Parte de un lado del triángulo está recortado, pero estaría justo donde está la línea naranja en la imagen. En cada triángulo, dos de los ángulos son de 60 grados. Eso significa que el tercer ángulo también tiene que ser de 60 grados, porque todos los ángulos en un triángulo suman 180. En otras palabras, la punta de cada flecha es básicamente un triángulo equilátero con un trozo cortado en un lado.
En un triángulo equilátero, todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales. Entonces, lo marcaremos en el diagrama. Sabemos que cada lado del triángulo grande es tres veces la longitud del lado del triángulo más pequeño, por lo que podemos etiquetar los lados del triángulo pequeño como x , y los lados del triángulo grande como 3 x . ¡Bien, ahora estamos hablando! Sabemos que x = 4, por lo que podemos reemplazar x y 3 x con 4 y 12, respectivamente.
Ahora solo necesitamos encontrar el área del triángulo grande y restar el área del triángulo más pequeño. Primero encontraremos la altura del triángulo grande, usando el Teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras establece que a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde a y b son los dos lados más cortos de un triángulo y c es el lado más largo.
Usando el Teorema de Pitágoras, encontramos que la altura del triángulo es 10.4 pulgadas cuadradas. El área de un triángulo es 1/2 veces la base por la altura, o 1/2 * 12 * 10.4, por lo que el área del triángulo grande es aproximadamente 62.4 pulgadas cuadradas.
No necesitamos repetir el Teorema de Pitágoras para el triángulo más pequeño, porque sabemos que las altitudes de triángulos similares son proporcionales, por lo que la altura del triángulo pequeño será 1/3 de la altura del triángulo grande, que es aproximadamente 3,47. pulgadas. Eso hace que el área del triángulo pequeño sea igual a 6,93 pulgadas cuadradas. ¡Tenga en cuenta que las áreas de los dos triángulos no son proporcionales! El área total del sombreado verde es de 62,4 a 6,93 o 55,4 pulgadas cuadradas.
Resumen de la lección
En esta lección, resolvió dos problemas de práctica con polígonos similares. Los polígonos similares tienen los mismos ángulos correspondientes y lados correspondientes proporcionales.
Para resolver problemas con polígonos similares, comience escribiendo todo lo que sabe en el diagrama. Luego, calcula la proporción entre los lados del polígono más grande y el más pequeño, y úsala para:
- Encuentra tantas longitudes de lados como puedas.
- Rotula las longitudes de los lados de un polígono en términos del otro. Por ejemplo, si la forma más pequeña tiene un lado de longitud x , la forma más grande podría tener un lado etiquetado como 2 x o 3 x .
Luego, usa las proporciones que conoces para resolver las longitudes de los lados que no conoces.
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