Power Series: Fórmula y ejemplos

Recomendaciones y sugerencias

Estoy seguro de que ha utilizado su calculadora para ayudarle a calcular todo tipo de respuestas en su carrera matemática. Algunas cosas parecen triviales, por supuesto 3 * 4 = 12, pero algunas son bastante sorprendentes. ¿Cómo sabe que el logaritmo natural de 1,3 es aproximadamente 0,26236? ¿Tiene una tabla gigante de valores que busca para darte la respuesta? Parece que requeriría demasiado espacio de almacenamiento. Entonces, ¿cómo lo hace?

Resulta que muchas de las funciones que nos cuesta mucho calcular a mano (funciones trigonométricas, logaritmos, exponenciales, etc.) también se pueden expresar mediante polinomios. Recuerde que las funciones polinomiales solo tienen potencias enteras en nuestra variable. Los polinomios generalmente son muy fáciles de calcular, ya que consisten en solo un montón de sumas y multiplicaciones. La diferencia con algunas de nuestras funciones es que estos polinomios tienen un número infinito de términos. Esto es lo que llamamos una serie de potencias .

Ejemplo: la serie geométrica

La serie de potencias más simple es la serie geométrica y se expresa como:

Es la suma de todas las potencias de x desde cero hasta infinito. Cada una de estas potencias de x tiene un coeficiente de uno. Podemos colapsar esta serie en notación sigma.

La serie geométrica es especial porque es una de las raras series en las que realmente tenemos una fórmula para la suma. Si x está entre -1 y 1, la suma infinita es igual a 1 / (1- x ). Lo que esto también nos dice es que la función 1 / (1- x ) se puede expresar como una serie de potencias. ¡Es genial que una función simple se pueda escribir como un polinomio infinito!

Power Series: la fórmula

¿Cómo podemos obtener diferentes funciones de una serie de potencias? Podemos manipular los polinomios de diferentes formas:

• Cambie los coeficientes de nuestros términos x de 1 a otros valores (como 2 ^ k como en este primer ejemplo).
• Cambie la función elevada a la potencia de k de xa otra función de x (como x – 2 en el segundo ejemplo).
• Una combinación de las ideas anteriores, cambiando tanto los coeficientes como la función que se eleva a la potencia de k , como en este tercer ejemplo.

Esto nos ayuda a construir una fórmula general para una serie de potencias.

Hemos visto que podemos escribir 1 / (1 – x ) como una serie de potencias, pero ¿qué pasa con otras funciones? Aquí están algunos ejemplos:

Ahora, ¿recuerdas esas calculadoras de las que estábamos hablando? ¿Cómo conocen todas esas funciones? ¿Qué pasa con nuestro logaritmo natural de 1,1? Bueno, las calculadoras en realidad tienen programados los primeros términos de la serie de potencias de la función. Entonces, todo lo que hacen es conectar 1.1 por x en la serie de potencia, agregar los primeros términos, ¡y ahí lo tienes!

Resumen de la lección

Una serie de potencias es un polinomio infinito donde cada término tiene la forma ( a sub k ) * ( x – c ) ^ k , donde a sub k son los coeficientes y c es el centro. Estos también se pueden expresar usando notación en serie. La característica importante de las series de potencias es que, si bien los coeficientes del polinomio pueden ser cualquier constante, la variable x en sí solo puede elevarse a una potencia de número entero. Muchas funciones se pueden describir mediante series de potencias, incluidas funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, solo por nombrar algunas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador