Problemas de práctica de chi cuadrado

Fórmula y tabla de chi cuadrado

Antes de comenzar con nuestros problemas de práctica, es importante comprender la fórmula de chi cuadrado y la tabla de chi cuadrado.

Fórmula chi cuadrado

En la fórmula X representa chi mientras O y e representan los valores observados y esperados, respectivamente. Una vez que se calcula el chi cuadrado, se necesita una tabla de chi cuadrado para interpretar su significado.

Ejemplo de una tabla de chi cuadrado

Los valores del lado izquierdo son los grados de libertad (DF). Para encontrar los grados de libertad, restamos uno del número de categorías en nuestros datos. A lo largo de la parte superior de la tabla están los valores p . El valor p , o valor de probabilidad, indica la probabilidad de que los valores observados coincidan con los valores esperados y se utiliza para determinar si la hipótesis nula debe aceptarse o rechazarse. A menos que se indique lo contrario, la hipótesis nula establece que no hay diferencia significativa entre los grupos que se miden. Es común aceptar la hipótesis nula para un valor p de 0.05 o más. Discutiremos esto con más detalle a medida que trabajemos en los problemas de práctica.

Chi cuadrado se puede utilizar en los negocios para ayudar a comprender las tendencias en una empresa, como veremos en nuestro primer ejemplo. Los gerentes pueden usar los resultados para tomar decisiones importantes.

Ejemplo 1: satisfacción de los empleados

El propietario de un negocio había estado trabajando para mejorar las relaciones con los empleados en su empresa. Predijo que cumplió con su objetivo de aumentar la satisfacción de los empleados del 65% al ​​80%. Se preguntó a los empleados de cuatro departamentos si estaban satisfechos con las condiciones laborales de la empresa. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Podemos usar chi cuadrado para determinar si los resultados apoyan o rechazan la predicción del propietario de la empresa.

Nuestro primer paso es calcular los valores predichos para poder compararlos con los valores reales de la encuesta. El número previsto de empleados satisfechos es el 80% del número total de empleados en cada departamento. Esto deja el 20% restante como el número de empleados insatisfechos. Por ejemplo, el número previsto de empleados satisfechos en el departamento de finanzas es 0,80 (19) = 15,2. El número previsto de empleados insatisfechos en el departamento de finanzas es 0,20 (19) = 3,8. La siguiente tabla muestra los valores observados y esperados para cada departamento. Los valores observados están en negrita y los valores esperados están entre paréntesis.

Ahora podemos usar los valores observados y esperados para calcular chi cuadrado.

Cálculo de chi cuadrado por ejemplo 1

El siguiente paso es usar la tabla de chi cuadrado que se encuentra al comienzo de la lección para encontrar el valor p . Debido a que nuestros datos tienen cuatro categorías (los cuatro departamentos de la empresa), nuestro grado de libertad es tres. Siguiendo la fila para un grado de libertad de tres, queremos encontrar el valor más cercano al valor de chi cuadrado de 11,6806. El valor más cercano es 11,345, que corresponde a un valor p de 0,01. Es común que los estadísticos usen un valor p de 0.05 para determinar si la hipótesis debe aceptarse o rechazarse. Dado que nuestro valor p es menor que 0.05, la hipótesis debería rechazarse. En otras palabras, los datos no respaldan la predicción del gerente comercial de que aproximadamente el 80% de los empleados están satisfechos.

Nuestro segundo ejemplo ilustra cómo se puede utilizar chi cuadrado para probar la precisión de las máquinas.

Ejemplo 2: Una apuesta justa

Muchos casinos utilizan máquinas de reparto de cartas para repartir cartas al azar. Ocasionalmente, la máquina se prueba para garantizar la misma probabilidad de negociar para cada palo. Para realizar la prueba, se reparten 1.500 cartas desde la máquina, mientras se cuenta el número de cartas de cada palo. En teoría, se deberían repartir 375 cartas de cada palo. Como puede ver en los resultados de nuestra tabla, este no es el caso:

Podemos usar chi cuadrado para determinar si las discrepancias son significativas. Si las discrepancias son importantes, entonces el juego no sería justo. Deberían tomarse medidas para garantizar que el juego sea justo.

Cálculo de chi cuadrado por ejemplo 2

Este ejemplo tiene cuatro categorías de datos, por lo que el grado de libertad es tres. El valor más alto que se muestra en nuestra tabla de chi cuadrado para un grado de libertad de tres es 12,838, que corresponde a un valor p de 0,005. Nuestro valor de chi cuadrado de 53.0294 es mayor que 12.838 y nos dice que el valor p sería menor que 0.005. Esto nos permite rechazar la hipótesis, lo que significa que las discrepancias son significativas. Por lo tanto, usar la máquina de repartir cartas no sería un juego justo.

Chi cuadrado también se puede utilizar para determinar si dos variables son independientes entre sí, como veremos en nuestro siguiente ejemplo.

Ejemplo 3: elección de un instrumento

Una maestra de música de una escuela primaria notó que las niñas parecían preferir tocar instrumentos de viento, como la flauta y el clarinete. Por otro lado, los niños parecían preferir tocar instrumentos de metal, como la trompeta o el saxofón. Su colega en otra escuela no estuvo de acuerdo, alegando que la elección del instrumento era independiente del género. Para probar sus hipótesis, los maestros recopilaron datos de las escuelas primarias locales. Los datos se resumen en la tabla que se muestra.

Primero, necesitamos encontrar los valores que se esperarían si la elección del instrumento fuera independiente del género. Usaremos la siguiente fórmula para encontrar el valor esperado para cada celda en la tabla, donde E es el valor esperado y los subíndices r y c representan la fila y columna de la celda, respectivamente.

Fórmula para calcular los valores esperados

Dado que tenemos cuatro celdas en la tabla, tendremos cuatro valores esperados para calcular.

Cálculos para valores esperados en el ejemplo 3

La siguiente tabla muestra los valores esperados y observados para cada celda. Los valores observados están en negrita y los valores esperados están entre paréntesis.

Ahora podemos calcular el chi cuadrado.

Cálculo de chi cuadrado por ejemplo 3

Dado que tenemos dos categorías, nuestro grado de libertad es uno. Una vez más, encontramos que nuestro valor de chi cuadrado es mayor que el número más alto que se muestra en nuestra tabla de chi cuadrado para un grado de libertad de uno. Esto nos dice que nuestro valor p sería menor que 0.005 y rechazaríamos la hipótesis de que las variables son independientes. Con base en estos datos, podemos concluir que la elección del instrumento depende del género.

Resumen de la lección

Como hemos visto en estos problemas de práctica, el chi cuadrado se puede utilizar para analizar datos en muchos campos. Se utiliza para determinar si las diferencias en los datos esperados y observados son lo suficientemente importantes como para rechazar o aceptar una hipótesis. Basado en el valor de chi cuadrado y el número de categorías en los datos, podemos usar la tabla de chi cuadrado para encontrar el valor p de los datos. Si el valor p es menor que 0.05, la hipótesis generalmente se rechaza. Si el valor p es 0.05 o superior, la hipótesis puede aceptarse.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador