Rodrigo Ricardo

¿Qué es un factorial?

Publicado el 18 septiembre, 2020

El problema de la natación olímpica

Mientras escribo esto, se están celebrando los Juegos Olímpicos de Verano en Londres y he estado viendo muchos de los eventos de natación. Yo no soy muy nadador, así que me sorprende la facilidad con la que los atletas pueden deslizarse por el agua. Es como si fueran delfines o algo así. De todos modos, tal vez sea porque soy profesor de matemáticas, pero a menudo me encuentro pensando: ¿de cuántas formas diferentes podrían las ocho personas terminar esta carrera? Tal vez terminen terminando en este orden, o tal vez así o tal vez incluso así. Pensamos en tres formas diferentes en que podrían terminar, pero probablemente hay muchas más. ¿Cuántos crees?

Si intentáramos llegar a todos los resultados, uno a la vez, tomaría días y probablemente mataríamos un árbol con todo el papel que usamos. Entonces, veamos si podemos encontrar un atajo.

Digamos que la carrera todavía está sucediendo y nadie ha terminado todavía. Eso significa que hay ocho posibles ganadores diferentes. Quizás Alex gane, o quizás Chris, no lo sabemos; podría ser cualquiera. Pero una vez que termine el ganador (quien sea), ahora solo hay siete personas diferentes que podrían quedar en segundo lugar.

Continuar con este patrón significaría que, en este punto, solo hay seis personas diferentes que podrían quedar en tercer lugar. Después de terminar en tercer lugar, solo hay cinco personas diferentes que podrían obtener el cuarto lugar. Eso significa que cuatro personas diferentes podrían obtener el quinto lugar, tres personas diferentes podrían obtener el sexto lugar y hay dos personas diferentes que podrían obtener el séptimo lugar. Una vez que las primeras siete personas han terminado, solo queda una persona que podría quedar última, lo que significa que para responder a la pregunta de cuántas formas diferentes podría terminar esta carrera, simplemente tenemos que multiplicar 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 para descubrir que hay 40,320 diferentes formas posibles de terminar esta carrera.


El principio fundamental de conteo: multiplica por cuántas posibilidades existen en cada paso del camino.
Principio fundamental de conteo

El principio fundamental de conteo

Lo que acabamos de hacer se llama en realidad el principio fundamental de conteo . Nos dice que cuando se nos presenta una lista larga de posibilidades, y estamos tratando de contar cuántos resultados totales pueden ocurrir, podemos simplemente multiplicar por cuántas posibilidades hay en cada paso del camino. No siempre será el caso de que los números por los que estamos multiplicando disminuyan en 1 en cada paso, pero termina sucediendo mucho. Ocurre tan a menudo, de hecho, que los matemáticos decidieron darle a la operación su propio nombre, factorial .

Factorial

Denotamos factorial con un signo de exclamación, y simplemente nos dice que multipliquemos cualquier número natural por todos los números naturales que son más pequeños que él . ¡Si nos piden que evaluemos 5! , Simplemente tengo que hacer 5 * 4 * 3 * 2 * 1 , y obtengo 120 . 9! es 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362,880 . 20! es 20 * 19 * 18 * 17 * 16 hasta 3 * 2 * 1 y obtengo este escandaloso número 24329 … una y otra y otra vez. Como puede ver, los factoriales se vuelven realmente grandes muy rápido.

Además de ayudarnos a responder preguntas como ‘¿de cuántas maneras diferentes podrían terminar la carrera estas personas?’, Un factorial también se puede usar para preguntas relacionadas con la organización de las cosas.

Ejemplo 1

Por ejemplo, ¿de cuántas formas diferentes podría colocar mis 15 libros favoritos en mi estante? Bueno, hay 15 libros que podrían ir en el estante primero, hay 14 libros que podrían ir en segundo lugar … después de que hayamos puesto los dos primeros allí, ahora solo quedan 13 en la pila que podrían ir en el tercero, y así sucesivamente. Entonces, el principio de conteo fundamental dice que mi respuesta será 15 * 14 * 13 hasta 1 , que es solo 15. . ¡Resulta que 15! es un poco más de un billón de formas diferentes, que son bastantes formas en las que podría organizar esos libros.


El signo de exclamación significa multiplicar ese número por todos los números más pequeños que él.
Un ejemplo de factorial

Ejemplo # 2

O tal vez me pregunten de cuántas formas podría ordenar las 12 canciones que estoy poniendo en mi lista de reproducción. Bueno, hay 12 canciones diferentes que podría elegir para ser la primera canción, hay 11 canciones diferentes que podría elegir para ser el segundo y hay diez canciones diferentes que podría elegir para ser el tercero. Entonces, ¡la respuesta a esta es 12! , que parece ser alrededor de 479,001,600 formas diferentes en las que podría hacer esta lista de reproducción.

Como puede ver, el factorial aparece en muchos lugares. Para practicar más con él en algunos ejemplos más complicados, mira el otro video factorial que tiene algunos problemas de práctica.

Revisión de la lección

Para repasar, el principio fundamental de conteo nos dice que para calcular el número total de formas en que algo puede suceder, simplemente multiplicamos el número de formas en que puede suceder cada paso. Factorial es la operación de multiplicar cualquier número natural con todos los números naturales que son más pequeños que él, ¡dándonos la definición matemática n! = N * (n – 1) * (n – 2) * (n – 3) … . Por último, factorial se utiliza para preguntas que le piden que encuentre de cuántas formas puede organizar u ordenar un número determinado de cosas.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá:

  • Definir el principio fundamental de conteo
  • Calcule el número total de formas en que puede suceder algo
  • Entender que es un factorial
  • Comprender cómo puede usar factoriales para determinar de cuántas maneras se puede ordenar un número determinado de cosas.

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