¿Qué son las identidades polinomiales?

Identidades polinomiales

A veces te encuentras con problemas polinomiales que desafían la racionalidad. Simplemente te miran, desafiándote a pensar en un enfoque. Parece que no hay una forma intuitiva de resolver el problema. En muchas de estas situaciones, se ha creado una identidad polinomial que abrirá la puerta de golpe y facilitará el problema. En esta lección, vamos a explorar algunas de estas claves mágicas que pueden marcar la diferencia entre un problema aparentemente imposible y uno fácil.

Técnicamente, las identidades polinomiales son solo ecuaciones que son verdaderas, pero las identidades son particularmente útiles para mostrar la relación entre dos expresiones aparentemente no relacionadas. Dado que la identidad le permite hacer esa conexión, puede usarla para convertir de un lado a otro entre las dos expresiones, tomando el lado que resulta ser útil en este momento.

Algunas identidades útiles

Hay muchas identidades polinomiales populares en el mundo de las matemáticas, y aquí hay algunas valiosas:

( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ²

Este puede acelerar su factorización y multiplicación FOIL (Primero – Exterior – Interior – Último). Cuando un binomio se eleva al cuadrado, siempre se descompone en la misma expresión. Una identidad similar es aquella en la que se restan los términos:

( a – b ) ² = a ² – 2 ab + b ²

Cuando ve un polinomio en cualquier forma en el lado derecho de la identidad, sabe que se incluirá en la expresión de la izquierda. Recuerde, estos no son lo mismo que a ² + b ², que no tiene una identidad para factorizar.

Diferencia entre cuadrados

La diferencia entre la identidad de los cuadrados puede ahorrarle muchas horas de factorización y multiplicación:

a ² – b ² = ( a + b ) ( a – b )

Esta identidad es tan útil que se encontrará mirando con esperanza a través de sus problemas polinomiales, encantado cuando ve cualquier forma de diferencia entre cuadrados. Una vez más, la suma de los cuadrados a ² + b & sup2, no se factoriza (al menos, no en números reales) y no tiene una identidad útil como esta.

Suma / diferencia de cubos

Los salvavidas en términos de factorización polinomial son la suma de cubos y la diferencia de identidades de cubos. Estas son algunas de las relaciones menos intuitivas en su caja de herramientas y son extremadamente útiles de recordar.

a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² – ab + b ²) es la suma de cubos y a ³ – b ³ = ( a – b ) ( a ² + ab + b ²) es la diferencia de cubos .

Fórmula cuadrática

Aunque no es tan divertido tratar de recordar, la fórmula cuadrática es una de sus identidades polinomiales más útiles. Le permite dividir cualquier expresión cuadrática (polinomio con un término al cuadrado como su expresión de orden más alto) en sus factores:

Figura 1: Fórmula cuadrática

Si ax ² + bx + c = 0, entonces puede usar la fórmula que acabamos de cubrir para encontrar los factores (reales o imaginarios). Tenga en cuenta que una , b , y c representan los coeficientes (como en, la parte numérica de los términos) que aparecen en la ecuación de segundo grado. Cuando usa esta identidad para resolver una ecuación cuadrática, puede terminar con uno o dos valores reales para x , o puede terminar tratando de sacar la raíz cuadrada de un número negativo, lo que significa que terminará con resultados imaginarios !

Aquí hay un par de identidades polinomiales comunes que pueden ser útiles mientras deambula por los campos minados algebraicos, especialmente al trabajar con ecuaciones cuadráticas:

( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd (la fórmula FOIL )

x ² + ( a + b ) x + ab = ( x + a ) ( x + b ) (otra fórmula FOIL)

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Las identidades polinomiales son ecuaciones que son verdaderas y tienen aplicaciones generales en su trabajo de álgebra. Son herramientas para avanzar más rápidamente a través de las tareas y otras actividades matemáticas. ¡Cuanto más familiarizado esté con estos, más fácil será su trabajo de álgebra! Éstos son solo algunos:

• ( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ², o ( a – b ) ² = a ² – 2 ab + b ²
• La diferencia entre la identidad de cuadrados : a ² – b ² = ( a + b ) ( a – b )
• La suma de la identidad de los cubos : a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² – ab + b ²)
• La diferencia de identidad de los cubos : a ³ – b ³ = ( a – b ) ( a ² + ab + b ²)
• La fórmula FOIL : ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
• Otra fórmula FOIL: x ² + ( a + b ) x + ab = ( x + a ) ( x + b )
• La fórmula cuadrática , que le permite descomponer cualquier expresión cuadrática en sus factores.
  

Rodrigo Ricardo Editor y fundador