Relación de tangente: definición y fórmula

Publicado el 24 noviembre, 2020

¿Qué es una relación de tangente?

Un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo recto. Un ángulo recto es un ángulo que mide 90 grados. Cualquier triángulo rectángulo tendrá dos ángulos que no son ángulos rectos y dos lados que no son la hipotenusa. La hipotenusa es el lado de un ángulo recto que siempre está frente al ángulo recto y es el lado más largo. La razón de la tangente es una comparación entre los dos lados de un triángulo rectángulo que no son la hipotenusa. Si dos triángulos de diferente tamaño tienen un ángulo que es congruente , y no el ángulo recto, entonces el cociente de las longitudes de los dos lados que no son hipotenusa siempre le dará el mismo valor. Recuerda que congruentees solo una forma elegante de decir que dos o más lados, ángulos o triángulos tienen las mismas medidas. Esta lección mostrará cómo funciona la relación de tangente y dará varios ejemplos.

Comprensión del vocabulario clave

La relación de tangente es parte del campo de la trigonometría , que es la rama de las matemáticas que se refiere a la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. Como ya habrá notado, hay muchos términos que debe comprender antes de poder comprender realmente cómo calcular la relación de tangente. Ya hemos explicado la mayoría de ellos, pero hay algunos más que debe aprender. El primero es el ángulo theta , que es el ángulo que se está considerando o el ángulo que es congruente entre los dos o más triángulos que está comparando. No es el ángulo correcto. Theta es una variable común cuando se usan ángulos, pero se pueden usar otras variables. Cuando usamos la palabra opuesto , nos referimos al lado que está frente al ángulo theta. Cuando usamos la palabraadyacente , nos referimos al lado que forma el ángulo theta y no es la hipotenusa. La relación de tangente es el valor recibido cuando la longitud del lado opuesto al ángulo theta se divide por la longitud del lado adyacente al ángulo theta. Muy comúnmente se abrevia como bronceado.

Encontrar la relación de tangente


3 triángulos rectángulos que tienen un ángulo de 37 grados
Triángulos rectángulos con theta igual a 37 grados

Esta imagen muestra tres triángulos rectángulos con lados de diferentes longitudes pero el ángulo theta es el mismo, o congruente, para los tres triángulos. La relación de tangente se definió como el lado opuesto del ángulo theta dividido por el lado adyacente al ángulo theta. Veamos ahora la razón de la tangente para los tres triángulos, usando la información de esta imagen. Recuerda que el ángulo theta es el mismo para todos ellos, y eso es 37 grados.

Para el triángulo más pequeño , sabemos que el lado opuesto es 3 y el lado adyacente es 4, lo que nos da una razón de ¾ o .75. Para el triángulo mediano , sabemos que el lado opuesto es 12 y el lado adyacente es 16. Esto nos da una razón de 12/16 o .75. Para el triángulo más grande , sabemos que el lado opuesto es 27 y el lado adyacente es 36, lo que nos da 27/36 = .75

Como puede ver, la razón de la tangente fue .75 para los tres triángulos. Ese será el caso de todos los ángulos de 37 grados en triángulos rectángulos. Si tiene una calculadora con una tecla tangente, ingrese tan (37) en la calculadora y debería producir .75355 que, redondeado a dos lugares decimales, es .75. Advertencia: asegúrese de que cualquier calculadora que esté utilizando tenga la configuración de la tangente en grados y no en radianes.

Las calculadoras científicas y gráficas tienen almacenados en su memoria todos los valores de cada ángulo y su valor de tangente. Cuando uno escribe una tangente en una calculadora y luego ingresa una medida de ángulo y luego la tecla Enter, se obtiene el valor del lado opuesto / lado adyacente.

Ejemplos

Hagamos algunos ejemplos más juntos ahora que sabemos cómo funciona esto.


Encuentra el valor de x
ExampleOne

El primer paso es notar algunas cosas: este es un triángulo rectángulo. El ángulo theta tiene una medida de 51 grados. El lado opuesto de theta es x . El lado adyacente tiene una medida de 12 pulgadas.

El segundo paso es configurar la declaración y conectar los números que conocemos. Tangente (theta) = opuesto / adyacente. Esto nos da tan (51) = x / 12.

El tercer paso es resolver x . Haz esto multiplicando ambos lados por 12. Esto da 12 (tan (51)) = x .

El cuarto paso implica el uso de la calculadora. Encuentra el botón de la tangente en tu calculadora. Ingrese tan (51) y luego presione enter, lo que produce 1.23490. Luego multiplique por 12 y obtendrá 14,82. Entonces x es 14,82.


Encuentra el valor de x
ejemplo dos

Nuevamente, el primer paso es notar la información que se le da: Este es un triángulo rectángulo. El ángulo theta tiene una medida de 25 grados. El lado opuesto mide 8 pies de largo. El adyacente es x .

El segundo paso es configurar la declaración utilizando la información que se nos ha proporcionado. Sabemos que tan (25) = 8 / x .

El tercer paso es resolver x obteniendo primero x por sí mismo. Puedes hacerlo aquí multiplicando ambos lados por x y luego dividiendo ambos lados por tan (25). Esto da x = 8 / tan (25).

El cuarto paso es usar una calculadora primero para encontrar tan (25), que es .46631. Luego podemos insertar ese número en nuestra ecuación para obtener 8 / .46631 = 17.16. Entonces x es 17.16 pies.


Encuentra el valor de x
Ejemplo Tres

El primer paso es, por supuesto, notar que se trata de un triángulo rectángulo con el lado opuesto de 11 pulgadas de largo y el lado adyacente de 20 pulgadas de largo. Esta vez es el ángulo theta el que se desconoce.

El segundo paso es configurar la ecuación como tan ( x ) = 11/20

El tercer paso es resolver x . Sabemos que tan ( x ) = 0.55, pero ¿cómo podemos obtener x por sí solo? Normalmente, dividirías ambos lados por el número junto a x , que es otra forma de decir que multiplicas por 1 / el número junto a x o multiplicas por el inverso de ese número. Haces lo mismo aquí y terminas con x = tan inverso (0.55).

El cuarto paso es encontrar la función de tangente inversa de tu calculadora. Suele ser la segunda función del botón tangente. Escriba la tangente inversa (.55) y presione enter y obtendrá 28.81. Esto significa que el ángulo theta es de 28,81 grados.

Resumen de la lección

En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo theta es la relación entre la longitud del lado opuesto y el lado adyacente. La relación se puede establecer como la declaración matemática: tangente theta = opuesto / adyacente. La relación de tangente es una herramienta muy útil cuando se necesita la longitud de un lado de un triángulo o el tamaño de un ángulo. La razón de la tangente se refiere a tres partes de un triángulo rectángulo: el ángulo theta , el lado opuesto y el lado adyacente . Si conoce dos de esas tres partes, la razón de la tangente se puede utilizar para determinar la otra.

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