Rodrigo Ricardo

Representación de la serie ln (1-x) Power: procedimientos y pasos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Encontrar la serie Power para ln (1 – x )

Una serie de potencias es la suma de un número infinito de términos. Cada término es una potencia de x multiplicada por un coeficiente. Para encontrar la serie de potencias de ln (1 – x ),

  • derivar la serie de potencias para una función relacionada: 1 / (1 – x )
  • integrar para encontrar la serie de potencia para ln (1 – x )
  • determinar el intervalo de convergencia

Paso 1: use la división larga para encontrar la serie de potencias de 1 / (1 – x )

La derivada de ln ( x ) es 1 / x . Este “1 sobre el argumento” sugiere observar cómo ln (1 – x ) se relaciona con 1 / (1 – x ).

1 / (1 – x ) significa ” 1 dividido por 1 – x ”. Hagamos una división larga para encontrar la serie de potencias de 1 / (1 – x ). El divisor, 1 – x , está escrito a la izquierda del cuadro. El 1 va en el cuadro y el cociente aparecerá encima del cuadro.

1-x_into_1

1 – x entra en 1, 1 veces. Escribimos un 1 encima del cuadro de división.

da_1

Multiplicando el divisor, 1 – x , por 1 da 1 – x que escribimos debajo del 1.

multiplicar_dona_1-x

Dibuja una línea. Reste 1 – x de 1. Para restar, cambie el signo y sume. 1 – x se convierte en -1 + x . Sumar -1 + xa 1 da 0 + x o solo x .

change_the_sign_and_add

¿Qué entra en x ? El divisor multiplicado por x da xx 2 . El cociente se convierte en 1 + x y xx 2 va por debajo de la x .

x_times_1-x_gives_x-x ^ 2

Dibuja una línea, cambia el signo y agrega. El siguiente término del cociente es + x 2 .

change_the_sign_add_goes_in_x ^ 2

¿Ves el patrón?

power_series_for_1 / (1-x)

Paso 2: Integrar.

Integremos la función 1 / (1 – x ):

integral_dx_over_1-x

Primero, sea 1 – x = u . Al diferenciar, obtenemos d (1 – x ) = d u . Pero el diferencial, d (1 – x ), es 0 – d x . Por tanto, d x = – d u .

d x sobre 1 – x es – d u sobre u con el signo menos delante de la integral.

minus_integral_du_over_u

La integral de d u / u es ln u .

-ln_u_u = 1-x

La barra vertical recuerda reemplazar u con 1 – x .

= ln (1-x) + C

La constante de integración, C , se suma porque la integral no tiene límites de evaluación, es decir, tenemos una integral indefinida. No se preocupe, obtendremos un valor para C más adelante.

A continuación, hacemos de ln (1 – x ) el sujeto de la ecuación.

make_ln (1-x) _the_subject

Para ser claros, la integral de d x sobre 1 – x es la misma que la integral de 1 sobre 1 – x . Pero 1 sobre 1 – x es la serie de potencias que derivamos anteriormente. Así,

substitute_the_series

En general, x n se integra ax n +1 sobre n + 1. Esta es la regla de potencia para la integración.

integr_term_by_term

Sustituye esta integración en nuestra expresión por ln (1 – x ):

resultado + C

Para encontrar C , sea x = 0. En el lado derecho, todos los términos con una x serán 0. Esto deja a C en el lado derecho. En el lado izquierdo ln (1 – x ) está ln (1 – 0) que es ln (1) que es igual a 0. Por lo tanto, C = 0.

Nuestro resultado hasta ahora:

result_up_to_interval_of_convergence

Tenga en cuenta el Σ en la segunda línea. Esta es la suma de notación significa sustituimos n = 1 en la x n / n para obtener x 1 /1 = x . Sumamos el resultado de sustituir n = 2 en x n / n para obtener x + x 2 / 2. Esta sustitución de n y la suma continúa hacia n = ∞. No olvide el signo menos delante del Σ.

Paso 3: Determine el intervalo de convergencia.

Para encontrar valores de x que nos permitan usar la serie de potencias, hacemos una prueba de razón . La prueba de proporción se basa en:

ratio_test_equation

Una n es el término general en nuestra suma.

Un

A n +1 es n reemplazado por n + 1:

A_ (n + 1)

A continuación, divida A n +1 por A n :

A_ (n + 1) / A_n

En la línea 2, los exponentes de x se agrupan y luego se simplifican a lo que vemos en la línea 3.

A continuación, tome el valor absoluto.

abdominales

En nuestra suma, n siempre es positivo, por lo que proviene del valor absoluto.

A continuación, tomamos el límite cuando n va a ∞:

límite

El valor absoluto de x sale del límite porque no depende de n .

abs_out_of_limit

A medida que n aumenta cada vez más, n + 1 se acerca cada vez más a n . Por tanto, n dividido por n + 1 se convierte en 1 en el límite cuando n va a ∞.

abs (x)

La prueba de proporción ahora dice | x |, debe ser menor que 1. Esto significa que tenemos convergencia para valores de x cuyo valor absoluto es menor que 1. Estos son los valores -1 < x <1. Convergencia significa la suma de los términos en la serie de potencias evaluadas para una x en el intervalo de convergencia, da un número idéntico al que obtenemos al sustituir esta x en ln (1 – x ).

Ahora exploramos lo que sucede en los puntos finales: -1 y +1. Para x = +1, ln (1 – x ) = ln (0) y no está definido. Entonces, x = 1 no está en el intervalo de convergencia. Si sustituimos el otro punto final, x = -1, en la serie de potencias obtenemos:

check_left_end_point

Se trata de una serie armónica alterna que converge. Por tanto, el punto x = -1 se incluye en el intervalo de convergencia.

El resultado final

La serie de potencias para ln (1 – x ) está dada por

resultado final

con intervalo de convergencia: -1 ≤ x <1.

Entender el resultado

El resultado dice que una determinada serie de potencias en x es equivalente a ln (1 – x ) siempre que tengamos suficientes términos en la suma, y ​​consideremos solo valores de x entre -1 y +1 (sin incluir +1). Una buena forma de entender esto es trazar ln (1 – x ) frente a x en la misma gráfica que la serie de potencias. No podemos sumar un número infinito de términos, pero podemos sumar un número pequeño de términos y luego sumar un número ligeramente mayor de términos. Será interesante ver lo que pasa.


Parcela de ln (1 – x)
Parcela_de_ln (1-x)

Algunas observaciones:

  • En x = 0, ln (1 – x ) = ln (1) = 0 y la curva azul cruza el origen.
  • En x = 1, ln (1 – x ) = ln (0) que va a infinito negativo.

Grafiquemos la serie de potencias manteniendo los primeros 4 términos.


Comparación de ln (1-x) con series de potencia
Comparando_ln (1-x) _con_power_series

Concéntrese en el intervalo de convergencia entre x = -1 y x = 1. Incluso con solo 4 términos, la serie de potencias está muy cerca de ln (1 – x ). Como era de esperar, las curvas están más separadas en x = 1 que no se incluye en el intervalo de convergencia.

Agreguemos más términos y veamos qué sucede.


Agregar más términos
Adding_more_terms

Recuerde comparar las curvas entre x = -1 y x = +1. Mantener los primeros 8 términos ha mejorado ligeramente el ajuste en x = -1 y hay un ajuste mucho mejor cerca de x = 1. Podríamos seguir agregando términos y el ajuste seguirá mejorando dentro del intervalo de convergencia.

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