La fórmula de Euler
¡La fórmula de Euler es extraordinaria! Relaciona el exponencial complejo, e i θ , con las funciones seno y coseno.
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Sabemos sin π / 2 = 1 y cos π / 2 = 0. Veamos qué sucede en la fórmula de Euler. Dejando θ = π / 2:
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Ahora tenemos otra forma de escribir i .
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El seno y el coseno son funciones periódicas del período 2π. Así,
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Lo cual es cierto para todos los valores enteros de n .
Para ser realmente general, podemos escribir i como
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Tener una expresión para i como una exponencial compleja, nos permite encontrar la raíz cuadrada de i .
Hallar la raíz cuadrada de i
El número imaginario, i , es igual a la raíz cuadrada de -1. Pero también podemos encontrar la raíz cuadrada de i . Simbólicamente, podemos escribir la raíz cuadrada de i usando un signo radical: √ yo con i elevado a la potencia 1/2.
Los pasos para encontrar la raíz cuadrada de i :
Paso 1: Escribe i como una exponencial compleja.
Ya lo hemos resuelto, pero será útil organizar la expresión para lo que viene a continuación. Dado que e ( a + b ) = e a e b ,
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También podemos reordenar el producto de estos exponentes,
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Paso 2: saca la raíz cuadrada.
Sacamos la raíz cuadrada elevando cada lado de la ecuación a la potencia 1/2:
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En el lado derecho, el 1/2 se multiplica por el argumento de cada exponente:
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Los 2 cancelados en la primera exponencial y en la segunda, π / 2 dividido por 2 es π / 4.
Paso 3: Evalúe e i n π.
Con n igual a cualquier número entero, e i n π solo puede ser 1 o -1. Por ejemplo, para n = 1:
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Y para n = 2:
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Por tanto, la raíz cuadrada de i es
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Paso 4: Evalúe e i π / 2 .
Evaluando el exponencial complejo con argumento i π / 2 en términos de seno y coseno:
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Tanto el seno como el coseno de π / 4 son iguales a 1 / √2. Así,
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Factorizando el 1 / √2:
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¡Y hemos terminado!
Resultado final
La raíz cuadrada de i está dada por
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y
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Comprobación del resultado
Cuadrar nuestro resultado nos dará i . Primero, cuadramos:
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El más o menos, cuando se eleva al cuadrado, es solo más. El 1 / √2 al cuadrado es 1/2. Cuando expandimos (1 + i ) 2 obtenemos
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Dado que i = √ (-1), i 2 = -1:
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El 1 y -1 cancelan dejando:
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Entonces, 1/2 de 2 i :
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Y nuestro resultado final verifica.
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