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Teorema de Ceva: aplicaciones y ejemplos

Publicado el 23 septiembre, 2020

Teorema de Ceva

Un artista ha creado una vidriera triangular y le queda una tira de revestimiento antes de completar la ventana. Necesita averiguar la longitud del último lado basándose en las longitudes de los otros lados, como se muestra en la imagen.

Ceva1

Necesitamos saber cómo se relacionan los segmentos de línea y luego usar esa relación para encontrar la longitud de FB (la longitud del lado faltante). Da la casualidad de que tenemos un buen teorema que ayudará a este artista a comprender exactamente cómo se relacionan estas partes de la ventana triangular y a encontrar la longitud de la última tira de revestimiento.

Antes de dar el teorema, repasemos una definición que ayudará a comprender el teorema. Un ceviano de un triángulo es un segmento de línea que va desde cualquiera de los vértices del triángulo hasta el lado opuesto a ese vértice. En términos de la ventana triangular, los cevianos del triángulo son los segmentos de línea AD , BE y CF , porque cada uno de ellos va desde un vértice del triángulo hasta un punto en el lado opuesto a ese vértice.

¡Bien, ahora podemos explorar este teorema que ayudará a la artista a encontrar lo que está buscando! El nombre del teorema es el teorema de Ceva , y establece que si tenemos un triángulo ABC y los puntos D , E y F están en los lados del triángulo, entonces los cevianos AD , BE y CF se cruzan en un solo punto si y solo si

  • | BD | × | CE | × | AF | = | DC | × | EA | × | FB |

Ceva2

Ahora que conocemos el teorema, apliquémoslo al escenario del artista.

Aplicación del teorema de Ceva

Eche un vistazo a la vidriera de nuevo.

Ceva1

Observe que los segmentos de línea AD , BE y CF dentro de la ventana son cevianos de la ventana triangular. Además, observe que esos cevianos se encuentran en un solo punto. ¿Está empezando a ver cómo podría aplicarse el teorema de Ceva a esta situación?

Dado que los cevianos de la ventana triangular se cruzan exactamente en un punto, el teorema de Ceva sigue que | BD | × | CE | × | AF | = | DC | × | EA | × | FB |. ¡Ah-ja! Estos son los lados que forman el revestimiento de la ventana triangular. Además, tenemos las siguientes longitudes para algunos de esos lados.

  • | AF | = 5 pulgadas
  • | BD | = 3 pulgadas
  • | DC | = 10 pulgadas
  • | CE | = 4 pulgadas
  • | EA | = 3 pulgadas

Por lo tanto, podemos conectarlos a esta relación para obtener lo siguiente:

  • 3 × 4 × 5 = 10 × 3 × | FB |

Lo único desconocido es | FB |, ¡y esa es la longitud de lado que el artista estaba buscando! Todo lo que tenemos que hacer es simplificar esta ecuación y resolver para | FB |.

  • 60 = 30 × | FB |

Divida ambos lados de esta ecuación por 30 para obtener lo siguiente:

  • 2 = | FB |

¡Ahí lo tenemos! Según el teorema de Ceva, debe darse el caso de que la última tira de revestimiento tenga una longitud de 2 pulgadas.

¡Todo esto es bastante fascinante! Echemos un vistazo a otro ejemplo.

Otro ejemplo

La imagen muestra un triángulo RST y puntos aleatorios M , N y O , en los lados del triángulo.

Ceva3

Supongamos que | SN | = 4 unidades, | TO | = 7 unidades, | RM | = 6 unidades. Ahora, suponga que dibujamos los cevianos RN , SO y TM y se cruzan exactamente en un punto. Con base en esto, ¿qué debe ser cierto sobre NT , OR y MS ?

Dado que los cevians se cruzan exactamente en un punto, según el teorema de Ceva, tenemos que | SN | × | TO | × | RM | = | NT | × | O | × | MS |. También tenemos longitudes para SN , TO y RM , por lo que tenemos lo siguiente:

  • | SN | × | TO | × | RM | = 4 × 7 × 6 = 168 = | NT | × | O | × | MS |

Por tanto, debe ser cierto que el producto de las longitudes de NT , OR y MS es 168.

Ahora, suponga que estamos tratando de averiguar las posibles longitudes de NT , OR y MS . Considere las siguientes dos posibilidades:

  • | NT | = 2, | O | = 4, | MS | = 8
  • | NT | = 14, | O | = 3, | MS | = 6

¿Cuál de estos conjuntos de longitudes podría ser en realidad la longitud de NT , OR y MS según lo que acabamos de encontrar usando el teorema de Ceva? Lo sabemos | NT | × | O | × | MS | debe ser igual a 168. Si comprobamos el primer conjunto de longitudes, obtenemos

  • | NT | × | O | × | MS | = 2 × 4 × 8 × = 64

Esto no es igual a 168, por lo que no es una posibilidad. El segundo conjunto da lo siguiente:

  • | NT | × | O | × | MS | = 14 × 3 × 6 = 168

¡Ding, ding, ding! Tenemos un ganador. Podría darse el caso de que | NT | = 14, | O | = 3 y | MS | = 6, ya que esto daría como resultado que su producto equivaliera a 168. Se necesitaría un poco más para averiguar si estas son las longitudes de los lados reales, pero da la posibilidad de intentar trabajar con ellas. ¡Guauu! ¡Hay tanto que se puede descubrir sobre un triángulo usando el teorema de Ceva!

Resumen de la lección

El teorema de Ceva establece que si tenemos un triángulo ABC y los puntos D , E y F están en los lados del triángulo, entonces los cevianos AD , BE y CF se cruzan en un solo punto si y solo si

  • | BD | × | CE | × | AF | = | DC | × | EA | × | FB |

Este teorema se puede utilizar para analizar muchas partes diferentes de un triángulo. Debido a que los triángulos ocurren con mucha frecuencia en el mundo que nos rodea, es un teorema muy útil para aplicaciones del mundo real en arte, construcción, física y astronomía, así como en aplicaciones puramente matemáticas.

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