Teorema del conjugado irracional: definición y ejemplo

Conjugados irracionales

¡Prepárate para una definición matemática extremadamente simple! Apuesto a que ni siquiera pensabas que existía tal cosa, pero como veremos, ¡estas raras criaturas existen! Verá, es posible que ya esté familiarizado con un número irracional. Un número irracional es un número que se extiende indefinidamente más allá de su punto decimal sin adoptar ningún tipo de patrón o repetición, y no se puede escribir como una fracción. Piense en π = 3.14159265 … podría pasar una eternidad escribiendo sus dígitos sin encontrar un patrón.

Afortunadamente, muchos números irracionales se pueden escribir en la forma a + √ b , donde a y b son números reales y b no es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 2 + √3 o 4 – √5 son números irracionales.

¡Ahora aquí viene esa simple definición! El conjugado irracional de un número irracional a + √ b es a – √ b . Simple, ¿eh? Básicamente, podemos encontrar el conjugado irracional de un número irracional a + √ b cambiando la suma por la resta o viceversa.

Por ejemplo, el conjugado irracional de 2 + √3 es 2 – √3 y el conjugado irracional de 4 – √5 es 4 + √5. ¡Pan comido!

Teorema de los conjugados irracionales

¿Qué tal un poco más de simplicidad en matemáticas? Los conjugados irracionales tienen su propio teorema que es tan simple como su definición. El teorema de los conjugados irracionales establece que si a + √ b es una raíz irracional de un polinomio, entonces su conjugado irracional a – √ b también es una raíz.

Por ejemplo, si 1 + √5 es una raíz irracional del polinomio x 2 – 2 x – 4, entonces, según el teorema de los conjugados irracionales, 1 – √5 también debe ser una raíz. Una vez más, ¡fácil!

Este teorema demuestra ser de gran utilidad en la aplicación y estudio de polinomios. Lo crea o no, podemos encontrar un polinomio dado un número limitado de ceros usando este teorema. ¡Veamos cómo funciona esto!

Usar el teorema para escribir polinomios

Un cero de un polinomio, P , es un valor de la variable en el polinomio que hace que el enunciado P = 0 sea verdadero. Los ceros son lo mismo que las raíces del polinomio, por lo que utilizaremos estos dos términos indistintamente. ¡Aquí es donde se pone ordenado! Cada cero, a , de un polinomio corresponde al factor lineal x – a en la factorización completa del polinomio. Por lo tanto, dados los ceros o raíces de un polinomio, podemos escribir sus factores y multiplicarlos para encontrar el polinomio.

Para ilustrar esto, suponga que sabemos que un polinomio, P , tiene exactamente dos ceros: 8 y -9. Esto nos dice que x – 8 y x + 9 son los factores lineales en la factorización completa del polinomio. Es decir,

• P = ( x – 8) ( x + 9)

Ahora tenemos el polinomio en forma factorizada, y podemos multiplicarlo para encontrar el polinomio en forma no factorizada.

Terminamos con P = x 2 + x – 72.

¡Frio! Pero, ¿qué tiene esto que ver con el teorema de los conjugados irracionales? Bueno, considere otro ejemplo. Supongamos que sabemos que un polinomio P tiene exactamente tres ceros, y dos de ellos se dan como 1 + √2 y 3. Hmmm … tenemos dos de los ceros, entonces sabemos que podemos encontrar dos de los factores lineales del polinomio que corresponden a estos ceros, pero se nos dijo que el polinomio tiene exactamente tres ceros. ¿Cómo encontramos el tercero? ¡Ah-ha, el teorema de los conjugados irracionales!

Observe que uno de los ceros o raíces dados es 1 + √2. Según el teorema de los conjugados irracionales, debe darse el caso de que 1 – √2 también sea un cero, por lo que tenemos nuestro tercer cero. En conjunto, tenemos que el polinomio P tiene tres ceros: 3, 1 + √2 y 1 – √2. Por lo tanto, tenemos sus tres factores lineales en su factorización completa como ( x – (1 + √2)), ( x – (1 – √2)) y ( x – 3).

• P = ( x – (1 + √2)) ( x – (1 – √2)) ( x – 3)

¡Ahora solo multiplicamos estos para obtener nuestro polinomio!

Terminamos con P = x 3 – 5 x 2 + 5 x + 3. ¡Guau! Pudimos determinar un polinomio completo a partir de solo dos de sus ceros. ¡Brillante! ¡Es obvio lo útil que es este teorema!

Resumen de la lección

Los números irracionales son números que se extienden más allá de sus puntos decimales para siempre sin adoptar ningún patrón o repetición. Afortunadamente, muchos números irracionales se pueden escribir en la forma a + √ b , donde a y b son números reales y b no es un cuadrado perfecto. Cada número irracional a + √ b tiene un conjugado irracional a – √ b . Para encontrar un conjugado irracional simplemente cambiamos la suma por la resta o viceversa.

El teorema de los conjugados irracionales establece que si el número irracional a + √ b es una raíz irracional de un polinomio, entonces su conjugado irracional a – √ b es también una raíz irracional de ese polinomio. Podemos usar este teorema para encontrar raíces de polinomios. Además, podemos encontrar un polinomio completo usando este teorema. Dado que cada cero , o raíz a , de un polinomio corresponde al factor lineal x – a en la factorización completa del polinomio, podemos usar el teorema para encontrar todos sus ceros, escribir todos sus factores lineales y luego multiplicarlos. .

¡Eso es un logro bastante significativo de un teorema que suena tan simple! No solo eso, sino que ahora vemos que en realidad hay algunas definiciones y teoremas en matemáticas que son bastante simples. ¿Quien sabe?

Rodrigo Ricardo Editor y fundador