Trabajo realizado por una fuerza variable

El trabajo es mover un objeto

Trabajamos con objetos cuando los movemos. Levanta a tu gato del sofá y ya habrás trabajado en él. Levante el televisor de su amigo en un camión de mudanzas y ya habrá trabajado en él. Cuando aprendimos sobre el trabajo por primera vez , nos dijeron que la cantidad de trabajo realizado en un objeto es igual a la fuerza sobre ese objeto a lo largo de la distancia que se desplaza. Simplificado, podemos escribir esta ecuación como trabajo = fuerza x distancia .

Esto suena bastante bien, ¿verdad? Pero aquí hay un problema. Piense en levantar ese televisor o levantar a su gato. ¿La cantidad de levantamiento que hace es constante mientras mueve el objeto? Probablemente no. Incluso si se esfuerza mucho por aplicar una fuerza constante sobre ese objeto, sigue siendo algo variable durante el tiempo que lo aplica.

Esto complica un poco las cosas, porque calcular la cantidad de trabajo realizado no es tan sencillo. Por ejemplo, digamos que mueve una caja por el piso, pero la cantidad de fuerza que aplica disminuye a medida que avanza. Para esta fuerza variable, vamos a necesitar más que una simple ecuación. Pero antes de sumergirnos en eso, veamos el trabajo en el gráfico para ayudarnos a comprender lo que realmente estamos calculando.

Calcular el trabajo realizado

Podría ser útil pensar en el trabajo realizado como un área en un gráfico, donde la fuerza está en el eje y y la distancia en el eje x. Cuando la fuerza es constante, tenemos una línea recta que sale del eje y y se detiene en la distancia que se movió el objeto. Para encontrar el trabajo realizado, simplemente encontramos el área debajo de la ‘curva’. En este caso, dado que la ‘curva’ es una línea horizontal, el área tiene la forma de un rectángulo.

Por lo tanto, para calcular el área, simplemente multiplicamos un lado por el otro, que es igual a la fuerza por la distancia. El resultado es el trabajo realizado en un objeto.

Eso fue bastante fácil, ¿verdad? Pero recuerde, ese es el trabajo realizado por una fuerza constante. ¿Cómo se vería el gráfico si la fuerza cambiara al mover el objeto? En realidad, hay muchas formas diferentes en que la fuerza podría cambiar, pero comenzaremos con el escenario más simple.

Digamos que empujaste una caja por el suelo con una fuerza en constante disminución. Empujaste y empujaste hasta que tu fuerza llegó a cero y la caja se detuvo. Si trazaras la fuerza sobre la distancia que empujaste la caja, tendrías una línea recta con una pendiente negativa.

Trabajo realizado con una fuerza lineal decreciente

Al mirar el gráfico, es fácil ver que el área debajo de la curva es un triángulo. Usando geometría básica, podemos encontrar la cantidad de trabajo realizado simplemente calculando el área del triángulo. Eso es bastante simple, así que agreguemos un giro.

Esta vez, empuja la caja con la misma fuerza decreciente, pero antes de que llegue a cero, recibe una llamada telefónica y debe detenerse. Si trazáramos esta fuerza, obtendríamos la misma línea recta con una pendiente negativa, pero ahora está flotando en el aire.

Trabajo realizado con una fuerza lineal decreciente y una interrupción

No es para preocuparse. Todavía podemos resolver este problema con geometría básica. El área debajo de la curva es en realidad la combinación de un triángulo y un rectángulo. Todo lo que tenemos que hacer es encontrar el área de ambas formas y sumarlas.

Este método te permitirá encontrar el trabajo realizado por cualquier fuerza que cambie linealmente, pero ¿qué podemos hacer si la fuerza cambia de una manera más compleja?

Cálculo del trabajo mediante aproximación rectangular

Si redujimos nuestra fuerza de empuje de caja en una tasa cambiante a medida que avanzamos por el piso, podríamos terminar con una línea curva en el gráfico, como esta. Calcular el área debajo de la curva requerirá más que geometría básica. ¿O es eso?

Trabajo realizado con una fuerza variable decreciente

Un método que podemos usar para aproximar el área debajo de una línea curva es dividirla en rectángulos. Dibujamos los rectángulos para que la curva pase por el punto medio del borde superior.

Calcular el trabajo realizado sobre una fuerza variable decreciente

Dibujar los rectángulos de esta manera ayuda a reducir el error de nuestra aproximación. Esto se debe a que la parte del rectángulo por encima de la curva está equilibrada con una pieza que ‘falta’ debajo de la curva.

El ancho que elegimos para nuestros rectángulos depende de qué tan precisos necesitemos que sea nuestra aproximación. Algunos rectángulos anchos no se ajustarán muy bien a la curva, por lo que no son tan precisos como usar muchos rectángulos estrechos. Sin embargo, usar muchos rectángulos estrechos significa que tendremos muchos cálculos que hacer cuando llegue el momento de encontrar el área. De cualquier manera, la decisión requiere que hagamos un intercambio que se basará en las necesidades del problema particular que estamos tratando de resolver.

Una vez que hayamos decidido el tamaño de los rectángulos, podemos encontrar el área de cada uno con geometría básica. Al sumar las áreas de todos los rectángulos, obtenemos una aproximación del área total y, por lo tanto, del trabajo.

Pero, ¿y si necesitamos una solución exacta y no solo una aproximación?

Calcular el trabajo mediante la integración

Si llevamos la aproximación rectangular al extremo, terminamos con un concepto de cálculo, llamado integración. Imagine dibujar un número infinito de rectángulos debajo de la curva haciéndolos cada vez más estrechos. Eventualmente, no veríamos ninguna diferencia entre la forma hecha por los rectángulos y la forma hecha por la curva. El problema es que sumar todas las áreas de un número infinito de rectángulos tomaría una cantidad infinita de tiempo. Ahí es donde entra la integración.

La integración nos da una forma de encontrar una solución exacta si conocemos la función que describe la fuerza. A veces, el problema que estamos tratando de resolver nos dirá cuál es la función y, a veces, tendremos que resolverlo. De cualquier manera, el proceso real de integrar una función requiere algún conocimiento de cálculo que va más allá del alcance de esta lección. Sin embargo, si tiene acceso a una computadora, hay muchas herramientas disponibles que harán la integración por usted. Con la ayuda de la tecnología, la integración puede seguir siendo una herramienta útil para encontrar el trabajo realizado por una fuerza variable.

Resumen de la lección

Cada vez que trabajamos en un objeto, estamos aplicando una fuerza sobre el objeto a una distancia determinada. Cuando esa fuerza es constante, podemos encontrar la cantidad de trabajo realizado simplemente multiplicando la fuerza por la distancia que se mueve el objeto.

Sin embargo, en realidad, la mayoría de las fuerzas no son constantes, lo que nos obliga a utilizar otros métodos. Si pensamos en el trabajo realizado como el área bajo una curva, podemos ver por qué a menudo no es posible simplemente multiplicar la fuerza por la distancia para encontrar nuestra respuesta.

Si la fuerza es lineal, entonces puedes usar geometría básica para encontrar el área debajo de la curva dividiéndola en formas geométricas simples. Si su fuerza variable no es lineal, y una aproximación cercana del trabajo será suficiente, entonces podemos dividir el área debajo de la curva en pequeños rectángulos. Si bien esto no nos da la cantidad exacta de trabajo realizado, si hacemos nuestros rectángulos lo suficientemente pequeños, podemos acercarnos bastante.

Sin embargo, si se necesita una respuesta exacta para una fuerza no lineal, entonces debemos usar el cálculo. Pero antes de que podamos integrarnos, la fuerza debe estar definida por una función. También es posible que necesitemos usar tecnología, como una computadora, para ayudarnos. Cualquiera que sea el método que elija, es importante comprender estos conceptos porque, en la mayoría de los casos, el trabajo se realiza mediante una fuerza variable.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:

• Recordar la fórmula para calcular la cantidad de trabajo realizado en un objeto.
• Calcule el trabajo realizado en un objeto con una fuerza lineal y no lineal fluctuante