Uso de la integración por partes

Integración por partes

Me encanta hacer rompecabezas. Creo que son el mejor pasatiempo del mundo. Puedo sentarme durante horas y hacer un rompecabezas de 1000, 2000 o 5000 piezas. Uno de los trucos para hacer rompecabezas que he encontrado es tomar todo el rompecabezas y dividirlo en trozos más pequeños y manejables. Entonces, en lugar de mirar las 5,000 piezas a la vez, solo está mirando 200 piezas que son aproximadamente del mismo color y tratando de juntarlas primero. Una vez que los junte, puede volver a poner ese pequeño trozo en su gran rompecabezas. Hace que el proceso sea un poco menos abrumador si puede hacer esto para cada parte del rompecabezas; el rompecabezas está hecho antes de que te des cuenta. Entonces, ¿qué tiene que ver todo esto con las matemáticas? Es similar a un concepto que llamamos integración por partes . En la integración por partes, tiene una integral como udv . v es su variable de integración y u es su integrando, por lo que también será una función. Puede escribir la integral udv como igual a uv menos la integral de vdu . Lo que ha hecho es eliminar parte del intervalo gigantesco, udv , y hacer que parezca un poco más fácil. Que sacó UV , y en lugar de integrar UDV , uno se queda con vdu. Al principio, esto no se parece exactamente a la analogía del rompecabezas. Tienes una pequeña integral igual a dos cosas separadas (que es como el rompecabezas), pero las dos cosas separadas no son necesariamente más fáciles de armar. Quiero decir, si vdu no es más fácil de integrar que udv , no te has ahorrado ningún trabajo sacando esas piezas de tu rompecabezas. Hablaremos de eso. Primero, ¿de dónde viene esto y, lo que es más importante, cómo puede recordarlo?

Trabajando con el primer ejemplo de integración por partes

Es lo mismo que la regla del producto . Imagine que tiene una función de UV , y U y V son cada uno una función, como f (x) y g (x) . Si tomas la derivada de uv , terminas con u multiplicada por la derivada de v más v por la derivada de u : ( uv ) `= uv` + vu«. Recordamos esto como la primera multiplicada por la derivada de la segunda más la segunda multiplicada por la derivada de la primera. ¿Ves cómo se relaciona eso con la integración por partes? Piensa en ello de esta manera. Si integra ambos lados de la ecuación, termina con uv = la integral de udv + la integral de vdu . Esta es su integración por partes, excepto que hemos movido vdu al otro lado de la ecuación. Entonces, si alguna vez olvida la ecuación para la integración por partes, vea si puede recordar la regla del producto para la diferenciación. Hagamos un ejemplo.

Primer ejemplo de integración por partes

Digamos que tenemos la integral de ( xe ^ x ) dx . Esta no es una integral que conozca de la parte superior de mi cabeza. En cambio, esta es una función multiplicada por otra función. Quizás pueda resolver esto mediante sustitución . No, no creo que una sustitución de u funcione aquí. Como tengo dos funciones multiplicadas entre sí, tal vez pueda hacer la integración por partes. Para la integración por partes, mi integral, ( xe ^ x ) dx , debe parecerse a la integral udv . Entonces, ¿qué es lo que quiero llamar U y qué es lo que quiero llamar dv ? Sustituyamos x por u. Lo que queda, ( e ^ x ) dx , tiene que ser igual a dv , porque ( xe ^ x ) dx tiene que ser igual a udv . Si hago esa sustitución, donde u = x y dv = ( e ^ x ) dx , entonces puedo averiguar qué es du y qué es v . ¿Qué quiero decir con eso? Bueno, tengo u = x ; tomemos la derivada de eso: du = dx . Bien, entonces te tengo a ti ydu y dv es ( e ^ x ) dx . ¿Qué es v ? Para encontrar v , tengo que integrar ( e ^ x ) dx , porque quiero encontrar la anti-derivada de esta ecuación. Esto es como deshacer la derivada, ¿verdad? Bueno, sé que si tomo la derivada de e ^ x obtengo e ^ x , y si tomo la integral de e ^ x obtengo e ^ x . Entonces, si dv = ( e ^ x ) dx, entonces v = e ^ x .

Comprobando su trabajo por ejemplo # 1

Bien, escribamos la ecuación de integración por partes: la integral de udv = uv – la integral de vdu . Conectemos lo que sabemos: u = x y dv = ( e ^ x ) dx , lo cual es bueno porque ahora el lado izquierdo coincide con nuestra integral original, ( xe ^ x ) dx , exactamente como debería. En el lado derecho, tenemos uv , que si usamos nuestras sustituciones u = x y v = e ^ x , es xe ^x – menos la integral de vdu . Bueno, v = e ^ x y du = dx , así que conectemos eso: ( e ^ x ) dx . Así que hemos reemplazado una integral con otra integral, pero esta integral es una que realmente podemos resolver. Sé que la integral de ( e ^ x ) dx es solo e ^ x . Entonces, si uso eso para el segundo término, termino encontrando que la integral indefinida de ( xe ^ x ) dx es igual axe ^x – e ^ x + una constante de integración, C . Entonces puedo comprobar mi trabajo tomando la derivada de xe ^ xe ^ x + C . Si hago eso, termino con d / dx ( xe ^ x ) – d / dx ( e ^ x ) + la derivada de la constante, que es 0. Veamos este primer término, d / dx ( xe ^ x ). Quizás no sea sorprendente que esto requiera la regla del producto. Así que tengo la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera. Eso es ( xe ^ x + e ^ x) – ( e ^ x ). Puedo simplificar, porque este e ^ x cancela este e ^ x , y obtengo xe ^ x , que era mi integrando original. Así que parece que no me equivoqué.

Usando la integración por partes en el segundo ejemplo

Segundo ejemplo de integración por partes

¿Qué hay de tomar la integral del logaritmo natural de x, ln ( x ) dx ? No puedo usar la sustitución u , porque no tengo nada que sustituir. Si u = ln ( x ), entonces realmente no sé qué hacer, y si u = x , entonces realmente no he hecho ninguna sustitución, así que eso no funciona. ¿Qué pasa si probé la integración por partes? Intentemos dividir esto en partes que no sabíamos que tenía. Digamos que u = ln ( x ) para la integración por partes. Para que ln ( x ) dx sea igual a udv , dv tiene que ser igual a dx . Siu = ln ( x ), entonces du = (1 / x ) dx , porque cuando tomamos la derivada del logaritmo natural, obtenemos 1 / x . Si dv = dx , integro ambos lados y obtengo v = x . Bien, escribamos mi fórmula de integración por partes y comencemos a introducir estos valores. La integral de udv se convierte en la integral de ln ( x ) dx ; esa es mi ecuación original, tal como debería ser. En el lado derecho, uv se convierte en ln ( x ) x , y este término menos vdu se convierte en menos la integral de x (1 / x ) dx . Bueno, x (1 / x ) se simplifica a 1, por lo que el segundo término se convierte en la integral de 1 dx , y sé que es igual ax . Entonces la integral de ln ( x ) dx= x ln ( x ) – x + una constante de integración C , porque nuevamente estamos tratando con una integral indefinida. Si voy a decir que esta integral indefinida es igual a este lado derecho, quiero verificarlo.

Comprobando su trabajo por ejemplo # 2

d / dx x x x C d / dx x x x x x x x x x x x C x dx

Resumen de la lección

La integración por partes , como la sustitución, requiere un poco de delicadeza y prueba por error. El objetivo de la integración por partes es tomar una imagen grande y separarla en partes más manejables. Tomamos la integral grande y fea de udv y la separamos en uv (que no es una integral, por lo que ya está resuelta, como terminar una pequeña parte del rompecabezas) y otra integral que esperamos sea más fácil que la primera integral. Como si nuestra primera integral tuviera 2,000 piezas de rompecabezas y sacamos 500 piezas y las resolvemos, entonces nos quedamos con un rompecabezas de 1,500 piezas un poco más fácil. Recuerde, la integración por partes requiere un poco de práctica, pero si puede hacerlo, le facilitará la vida al disminuir el tamaño del problema.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador