Variables aleatorias: definición, tipos y ejemplos

¿Qué es una variable aleatoria?

Si alguna vez ha tomado una clase de álgebra, probablemente haya aprendido sobre diferentes variables como x , y e incluso z . Algunos ejemplos de variables incluyen x = número de cabezas o y = número de teléfonos móviles oz = tiempo de ejecución de películas. Por lo tanto, en matemáticas básicas, una variable es un carácter alfabético que representa un número desconocido.

Bueno, en probabilidad, también tenemos variables, pero nos referimos a ellas como variables aleatorias. Una variable aleatoria es una variable que está sujeta a la aleatoriedad, lo que significa que puede tomar diferentes valores.

Como en matemáticas básicas, las variables representan algo, y podemos denotarlas con una x o una y o cualquier otra letra. Pero en estadística, es normal usar una X para denotar una variable aleatoria. La variable aleatoria adquiere diferentes valores según la situación. Cada valor de la variable aleatoria tiene una probabilidad o porcentaje asociado.

Variables aleatorias discretas

Veamos un ejemplo. Empezaremos lanzando monedas. Quiero saber cuántas caras podría sacar si lanzo dos monedas. Como solo lanzo dos monedas, la cantidad de caras que podría sacar es cero, una o dos caras. Entonces, defino X (mi variable aleatoria) como el número de caras que podría obtener.

En este caso, cada valor específico de la variable aleatoria – X = 0, X = 1 y X = 2 – tiene una probabilidad asociada. Cuando la variable representa puntos aislados en la recta numérica, como el de abajo con 0, 1 o 2, la llamamos variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria discreta es una variable que representa números encontrados contando. Por ejemplo: número de canicas en un frasco, número de estudiantes presentes o número de caras al lanzar dos monedas.

Las variables aleatorias discretas representan puntos aislados en la recta numérica.

X es discreto porque los números querepresenta X son puntos aislados en la recta numérica.

El número de caras que pueden aparecer al lanzar dos monedas es una variable aleatoria discreta porque las caras solo pueden aparecer un cierto número de veces: 0, 1 o 2. Además, queremos saber la probabilidad asociada con cada valor del azar. .

En la tabla, notarás las probabilidades. Veremos cómo calcular las probabilidades asociadas a cada valor de la variable. Sin embargo, lo que vemos arriba se llama distribución de probabilidad para el número de caras (nuestra variable aleatoria) cuando arrojas dos monedas. Una distribución de probabilidad tiene todos los valores posibles de la variable aleatoria y las probabilidades asociadas.

Variables aleatorias continuas

Veamos otro ejemplo.

Suponga que estoy interesado en ver los puntajes de las pruebas de estadística de una determinada universidad de una muestra de 100 estudiantes. Bueno, la variable aleatoria serían los puntajes de las pruebas, que podrían oscilar entre 0% (no estudió nada) y 100% (excelente estudiante). Sin embargo, dado que los puntajes de las pruebas varían bastante e incluso pueden tener decimales en sus puntajes, no puedo denotar todos los puntajes de las pruebas usando números discretos. Entonces, en este caso, uso intervalos de puntajes para denotar los diversos valores de mi variable aleatoria.

Cuando tenemos que usar intervalos para nuestra variable aleatoria o todos los valores en un intervalo son posibles, lo llamamos variable aleatoria continua. Por lo tanto, las variables aleatorias continuas son variables aleatorias que se encuentran a partir de la medición, como la altura de un grupo de personas o la distancia recorrida durante la compra o los puntajes de las pruebas de los estudiantes. En este caso, X es continuo porque X representa un número infinito de valores en la recta numérica.

Veamos una tabla hipotética de la variable aleatoria X y el número de personas que puntuaron en esos diferentes intervalos:

Como sé que hay cien estudiantes en total, también podría tener una columna con la frecuencia relativa o el porcentaje de estudiantes que puntuaron en los diferentes intervalos. Calculamos esto dividiendo cada frecuencia por el total (en este caso, 100). Luego, dejamos la respuesta como decimal o la convertimos en porcentaje. Así, como en el ejemplo de la moneda, la variable aleatoria (en este caso, los intervalos) tendría ciertas probabilidades o porcentajes asociados. Y esta sería una distribución de probabilidad para los puntajes de las pruebas.

Las probabilidades oscilan entre 0 y 1

En el estudio de la probabilidad, nos interesa encontrar las probabilidades asociadas a cada valor de estas variables aleatorias. Puede notar que, como decimal, ninguna probabilidad es mayor que uno, ni son negativas. Esto siempre es cierto. Para cualquier designación de la variable aleatoria, la probabilidad siempre está entre cero y uno, nunca negativa y nunca mayor que uno. En los libros de matemáticas, verá esto escrito como:

Lo que dice que P ( X ) siempre está entre 0 y 1.

La notación de P y luego paréntesis alrededor de X – P ( X ) – unos medios de la probabilidad de que X . Recuerde, X es la variable aleatoria. Una nota aquí: no importa si usa mayúsculas o letras comunes para la variable aleatoria o para P , ¡siempre que sea consistente!

Suma de probabilidades para una distribución

Quizás haya notado anteriormente que en cada tabla la suma de todas las probabilidades sumaba 1 o 100%. Sin embargo, para las variables aleatorias continuas, podemos construir un histograma de la tabla con frecuencias relativas, y el área debajo del histograma también es igual a 1.

Este gráfico a menudo se denomina curva de densidad para la variable aleatoria continua. Por tanto, una curva de densidad es un gráfico de las frecuencias relativas de una variable aleatoria continua. En los libros de matemáticas, la propiedad de que la suma de las probabilidades se da en notación corta como:

El símbolo griego se llama Sigma, sigma mayúscula y significa suma. Y entonces el enunciado dice que la suma de las probabilidades en una distribución de probabilidad es igual a 1.

Algunos ejemplos más

Veamos algunos ejemplos de clasificación de variables aleatorias.

Suponga que estoy viendo la cantidad de neumáticos defectuosos del automóvil. Sea X = el número de neumáticos defectuosos del automóvil. ¿ X es discreto o continuo? Bueno, dado que generalmente hay cuatro neumáticos en el automóvil, X puede oscilar entre 0 y 4. Sin embargo, solo puede ser 0, 1, 2, 3 o 4. Entonces, X es una variable aleatoria discreta.

Bien, veamos otro ejemplo. Supongamos que estoy midiendo el tiempo de ejecución de películas que se están proyectando actualmente en los cines de mi ciudad. Sea X = el tiempo de ejecución de las películas. ¿ X es discreto o continuo?

Dado que los tiempos de las películas varían mucho y la duración de la película se puede medir al minuto o fracción de minuto o incluso a los segundos más cercanos, según la precisión que desee obtener, X es una variable aleatoria continua. Al recopilar mis datos, tendría sentido compilar los datos en intervalos de tiempos de ejecución en lugar de crear una categoría para cada tiempo de ejecución individual.

Un ejemplo más: juegas a un juego en el que lanzas una moneda y registras el número de lanzamientos necesarios para obtener dos caras seguidas. Entonces, deje que la variable aleatoria X = el número de veces que se lanza la moneda para obtener dos caras seguidas. Usando H para cara y T para cruz, podríamos tener secuencias como estas:

HH dos lanzamientos

THH tres lanzamientos

TTHH cuatro lanzamientos

HTHH cuatro lanzamientos

THTHH cinco lanzamientos

TTTHH cinco lanzamientos

y así …

¿ X es discreto o continuo?

Bueno, para las secuencias anteriores X = 2, X = 3, X = 4, X = 5 y así sucesivamente ….. Pero no podemos tener 1.5 lanzamientos o 1.25 lanzamientos. Por tanto, X es una variable aleatoria discreta.

Sin embargo, tenga en cuenta que X puede continuar infinitamente, ya que teóricamente, podríamos lanzar para siempre y nunca obtener dos caras seguidas, aunque la probabilidad de que esto suceda es extremadamente pequeña. Sin embargo, X es discreto ya que representa puntos aislados en la recta numérica (aunque estos puntos continúan para siempre).

Resumen de la lección

Así que recapitulemos:

Una variable aleatoria es en realidad solo una variable que tiene ciertos valores asociados. Además, cada valor de la variable aleatoria o cada rango de valores de la variable aleatoria tiene probabilidades asociadas.

Si la variable aleatoria representa números aislados en la recta numérica, la llamamos discreta .

Si la variable aleatoria representa un rango infinito de números o medidas, la llamamos continua .

Generalmente, las variables aleatorias discretas suelen ser números enteros, y las variables aleatorias continuas tienen de pocos a muchos lugares decimales.

También vimos que las probabilidades están siempre entre cero y uno, y la suma de las probabilidades en una distribución de probabilidad es igual a uno para una variable aleatoria discreta o el área bajo la curva de densidad es uno para una variable aleatoria continua.

Entonces, ¿por qué tanto alboroto por las variables aleatorias? Así, mediante la definición de X , la variable aleatoria, que es algo, que elimina nosotros tener que escribir frases largas de lo que estamos hablando, y ahora podemos pasar a calcular las probabilidades y la generación de distribuciones de probabilidad de la variable aleatoria X .

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

• Definir variable aleatoria
• Diferenciar entre variables aleatorias discretas y continuas
• Identificar a qué equivale la suma de las probabilidades en una distribución de probabilidad