Las propiedades logarítmicas
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Cuando conocimos las propiedades logarítmicas, pudimos resumir toda la información útil de las tres propiedades principales en esta tabla. La propiedad del producto nos dijo que la multiplicación en el interior de un tronco se puede convertir en una suma en el exterior. La propiedad del cociente decía que la división en el interior podría convertirse en una resta en el exterior. La propiedad de la potencia decía que un exponente en el interior del registro se podía convertir en una multiplicación en el exterior.
Expansión de registros
Estas propiedades son útiles cuando estamos resolviendo un problema y llegamos a un paso con un registro que se ve así: ln (6 e (5/7) ).
Los registros son lo suficientemente confusos cuando solo tienen un número en el interior, pero los de este tipo pueden ser abrumadores. Afortunadamente, tenemos las propiedades para dividir este complejo registro en partes más pequeñas y manejables. Debido a que el orden de las operaciones nos diría que dividir por 7 en el interior de esta expresión sería lo último que haríamos en esta expresión, será lo primero que deshagaremos con las propiedades.
Como se divide por 7, usaremos la propiedad del cociente para comenzar a expandir esta expresión. Nos dice que la división que vemos en el interior se puede convertir en una resta en el exterior. Esto significa que obtenemos el logaritmo natural del numerador menos el logaritmo natural del denominador: ln (6 e (5/7) ) = ln (6 e 5 ) – ln (7).
Mirando ahora ln (7), sé que no me queda nada que ver con esto porque es solo el logaritmo natural de un solo número. No hay otras operaciones en el interior de ese tronco natural. Sin embargo, ese primer trimestre en (6 y 5 ) todavía tiene cosas que hacer allí, así que todavía tengo trabajo por hacer.
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A continuación, podemos usar la propiedad del producto para eliminar la cosa más externa, lo último que haría el orden de operaciones, que es 6 por e 5 . Usando esa propiedad del producto, ahora terminamos con ln (6) + ln ( e 5 ) para ese primer término. Esa propiedad del producto simplemente convirtió la multiplicación en el interior en una suma en el exterior. Ahora tenemos: ln (6 e (5/7) ) = ln (6) + ln ( e 5 ) – ln (7).
Por último, podemos utilizar otra propiedad a medio plazo. Podemos usar la propiedad de la potencia para cambiar el exponente en el interior a una multiplicación en el exterior. Ahora tenemos nuestra expresión completamente desarrollada: ln (6 e (5/7) ) = ln (6) + 5ln ( e ) – ln (7).
Esta expresión ampliada podría ser un poco más fácil de ver porque ahora puedo pensar en evaluar cada término. Puedo evaluar ln (6) y ln ( e ) y así sucesivamente para obtener una estimación de esta expresión. Al principio, no tenía idea, ya que era demasiado complejo. La expresión completamente expandida puede ayudarnos a tener una mejor idea de lo que es.
Troncos de condensación
También es bueno poder hacer lo contrario: condensar una larga lista de registros en uno solo. Si bien es agradable ver cada pieza simple cuando la evaluamos y tratamos de estimarla, si tenemos que escribirla una y otra vez, no es divertido escribir cada paso. Preferimos ‘empaquetarlo’ en un registro mientras lo usamos y luego ‘desempaquetarlo’ cuando realmente lo necesitemos.
Tome esto por ejemplo: 2 (log (6) + log ( x )) – log (12). Escribir esto una y otra vez en cada línea de mi artículo se volvería realmente molesto, muy rápido. Así que usemos nuestras propiedades y retrocedamos con esta expresión esta vez para condensarla en un logaritmo.
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Esta vez, haremos el orden de las operaciones de forma normal. Primero miro dentro de mis paréntesis y veo que hay una adición entre los registros. Quiero condensar esta adición en el exterior de los registros, lo que significa usar la propiedad del producto. La propiedad del producto dice que puedo sumar en el exterior y convertirlo en multiplicación en el interior. Por lo tanto, obtengo esta expresión un poco más pequeña: 2 (log (6 x )) – log (12).
A continuación, quiero usar la propiedad power. El 2 delante del log (6 x ) significa multiplicación en el exterior, que nuestra tabla dice que se puede cambiar a un exponente en el interior, usando la propiedad de potencia. Debido a que el 6 y la x están en el interior del mismo registro, el exponente está en ambos. Luego puedo distribuir ese exponente para obtener log (36 x 2 ) – log (12).
Por último, puedo usar la propiedad del cociente para convertir la resta en el exterior en división en el interior. Terminamos con log (36 x (2/12) ). En realidad, eso se puede simplificar para que sea log (3 x 2 ). Ahora, tenemos nuestra expresión completamente condensada. La condensación de este registro no solo hizo que fuera más fácil de escribir, sino que también hizo que algunos de los números se cancelaran.
Evaluación de registros
Finalmente, incluso podemos usar las propiedades para ayudarnos a evaluar algunos logaritmos también. Tome este ejemplo: base logarítmica 3 de la raíz cuadrada de 27 menos base logarítmica 5 de la raíz cuadrada de 5.
Si bien es cierto que estos registros se pueden evaluar sin calculadoras, no está muy claro cómo lo haríamos al analizar este problema en este momento. Intentemos ‘desempacar’ los registros un poco. Tal vez si los rompemos en pedazos más pequeños, tendremos una mejor idea de lo que son iguales.
Primero tenemos que recordar que las raíces cuadradas escritas en forma radical se pueden cambiar a forma de exponente racional. Esto básicamente significa que la raíz cuadrada de un número es lo mismo que ese número elevado a ½. Recordar esto nos permite reescribir nuestra primera expresión como base logarítmica 3 de 27 a la ½ potencia menos la base logarítmica 5 de 5 a la potencia ½.
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Esto ya se ve mejor porque sé qué hacer con exponentes en los registros. Puedo usar la propiedad de potencia para reducir los exponentes frente a los registros y hacer que sea una multiplicación. Ahora, cuando veo la base logarítmica 3 de 27 sin la raíz cuadrada o la potencia, puedo pensar ¿a qué equivale log 3 de 27? Bueno, 3 3 = 27, así que la base logarítmica 3 de 27 es solo 3. Si miro la base logarítmica 5 de 5, ¿qué exponente convierte 5 en 5? Bueno, eso sería una potencia de 1, lo que significa que la base logarítmica 5 de 5 es solo 1. Ahora, tengo una expresión que puedo multiplicar y restar para obtener: 1/2 (3) – 1/2 ( 1) = 1,5 – 0,5 = 1.
Resumen de la lección
Usar las propiedades para expandir los logaritmos puede ser útil cuando intentamos evaluar el registro o simplemente cuando parece complicado hacer algo con él. Sin embargo, volver a condensarlos en un solo registro puede facilitar mucho la escritura y, en ocasiones, también ayudará a cancelar algunos valores.
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