¿Qué es el teorema del binomio?

Comprensión de la técnica FOIL

Cuando le digo a la gente que soy profesor de matemáticas en la escuela secundaria, a menudo comparten conmigo qué partes de su clase de álgebra recuerdan. Junto con la fórmula cuadrática, el tema que escucho el más acerca es FOIL se trata de un acrónimo que significa F rimero, O Uter, que nner, L ast y nos permite multiplicar dos expresiones como (x-3) (x + 5) multiplicando los dos primeros términos, los términos externos, los términos internos y, finalmente, los últimos términos. Después de obtener esas cosas, simplemente combinamos los términos semejantes que quedan en nuestra expresión para obtener nuestra respuesta, x ^ 2 + 2x – 15 .

Lo que FOIL nos ayuda a hacer es multiplicar dos binomios para obtener un trinomio. Comenzamos con binomios porque cada expresión tiene solo dos términos y nuestra respuesta es un trinomio porque tiene tres términos . ¡Al igual que una bicicleta tiene dos ruedas y un triciclo tiene tres!

Usando FOIL para multiplicar dos expresiones

FOIL Ejemplo # 1

Lo que la mayoría de la gente olvida es que FOIL también puede ayudarnos a multiplicar expresiones como (x + 1) ^ 3 . Primero debes asegurarte de no cometer el error común de distribuir el exponente a ambos términos en el interior y, en su lugar, volver a escribir la expresión como (x + 1) (x + 1) (x + 1) . Ahora podemos comenzar el proceso de multiplicarlos usando FOIL para multiplicar los dos primeros binomios como lo haríamos normalmente. Hacemos los primeros, los exteriores, los interiores, los últimos. Nosotros combinamos los términos semejantes , y obtenemos x ^ 2 + 2x + 1 .

Pero, todavía tenemos otro x + 1 colgando al final. Ahora es el momento de lo que a menudo llamo el super FOIL. Todavía tenemos que multiplicar todo en el primer paréntesis con todo en el segundo, pero ahora eso requiere más pasos. Primero multiplicaremos todo en el trinomio con x (( x ^ 2 * x ), (2 x * 1)) y (1 * x )). Luego, multiplicaremos todo en el trinomio con 1 (( x ^ 2 * 1), (2 x * 1) y (1 * 1)). Nuevamente, tenemos que combinar términos semejantes y encontramos que ( x + 1) ^ 3 = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3x + 1 .

Este proceso puede continuarse durante el tiempo que desee. Por ejemplo, si en cambio quisiéramos encontrar (x + 1) ^ 4 , podríamos simplemente multiplicar nuestra respuesta anterior por x + 1 otra vez. Esto ahora se convierte en lo que podríamos llamar el super duper FOIL y requiere aún más pasos. Pero sigue siendo el mismo proceso. Si multiplicamos todo desde la primera expresión (la x + 1 ) con todo desde la segunda expresión (nuestra respuesta de la última pregunta) y luego combinamos todos nuestros términos semejantes, terminaremos con (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 .

El teorema del binomio

Pero como ahora está quedando claro, este método requiere bastante trabajo. Cada vez que lo hacemos de esta manera, hay más y más pasos por hacer, y también más oportunidades para que cometamos un error tonto. Debido a esto, la sola idea de usar este método para multiplicar, no lo sé, (x + 1) ^ 8 me da dolor de cabeza. Afortunadamente, tenemos el Teorema del Binomio para ahorrarnos todo el dinero que hubiéramos tenido que gastar en Advil.

El teorema del binomio se trata de patrones. Quizás hayas notado que cada respuesta que obtuvimos comenzaba con una x con la misma potencia que en nuestro problema original. (x + 1) ^ 3 comenzó con una x ^ 3 . Después de eso, el exponente de la x s se redujo en 1 hasta que llegamos a no más x sy simplemente al número 1 . Ese patrón solo nos dice que (x + 1) ^ 8 se verá algo así como x ^ 8 + x ^ 7 +… hasta 1 . Lo único que nos falta son los coeficientes frente a todas esas x s. Este patrón es definitivamente más complicado de ver, pero es exactamente por eso que el matemático francésBlaise Pascal obtuvo su nombre adjunto cuando lo encontró ( Triángulo de Pascal ).

Triángulo de Pascal

Comenzaremos haciendo un triángulo que comienza con una entrada en la parte superior y luego aumenta una entrada en cada fila hacia abajo. A continuación, completaremos los exteriores con 1 s, dándonos esto. Ahora completamos todas las entradas restantes agregando las dos directamente encima. Nuestra entrada en blanco más alta se convierte en un 2 porque 1 + 1 = 2 . Las siguientes dos entradas en blanco se convierten en 3 porque en la primera 1 + 2 = 3 y en la segunda 2 + 1 también es 3 . En nuestra siguiente fila, (a la izquierda) obtengo 1 + 3 = 4 , luego 3 + 3 = 6 y 3 + 1 = 4. Compruébalo: las filas en el triángulo de Pascal son los coeficientes de las respuestas que acabamos de recibir. (x + 1) ^ 4 era 1x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 . (x + 1) ^ 3 era 1x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1 . Lo que significa que si hiciéramos (x + 1) ^ 2 , obtendríamos 1x ^ 2 + 2x + 1 , si solo hiciéramos (x + 1) ^ 1 , obtendríamos solo 1x + 1 , y si haría (x + 1) ^ 0 – cualquier cosa al cero solo nos da 1 . Tenga en cuenta que esto hace que la fila superior sea la fila cero , lo que significa que si está tratando de encontrar los coeficientes para (x + 1) ^ 2, en realidad tienes que ir a la tercera fila hacia abajo.

Por lo tanto, responder a nuestra pregunta (x + 1) ^ 8 , que nos provoca dolor de cabeza , es tan fácil como continuar este triángulo hasta la octava fila. Hacerlo rápidamente aquí nos dice que nuestra respuesta sería la siguiente: 1x ^ 8 + 8x ^ 7 + 28x ^ 6 + 56x ^ 5 + 70x ^ 4 + 56x ^ 3 + 28x ^ 2 + 8x + 1 .

Ejemplo de uso del triángulo de Pascales para resolver el problema

Evaluación de una ecuación más compleja

Ahora, eso está muy bien, pero tomar múltiplos de x + 1 es lo que podría llamar un policía. El teorema del binomio se vuelve un poco más complejo cuando, en cambio, hacemos algo como (2x – 3) ^ 8 . Podemos usar nuestra respuesta anterior como marco para resolver esta, pero siempre que veo una x en nuestra respuesta de la última, ahora tengo que poner un 2x . Entonces, al lado del 1 hay un 2x ^ 8 , y al lado del 8 hay un 2x ^ 7 , pero, al igual que antes, irán bajando lentamente. Eso no es tan malo, pero el -3 también va a estropear las cosas bastante bien.

El -3 hace que este problema sea más complejo

Debido a que tuvimos un buen +1 en nuestro último ejemplo, no tuvimos que preocuparnos por esta pieza del rompecabezas. Pero no solo las x comenzarán con una potencia de 8 y disminuirán lentamente (bajarán en 1 ), el -3 en el ejemplo va hacia el lado opuesto. A partir de cero de ellos, se incluirá un -3 más en cada término desde ahora hasta el final. Entonces, hay cero -3 en el primero, luego hay uno -3 después del 8 , luego hay dos -3 s en el grupo 28 , luego hay tres -3 s en el 56grupo, y siguen subiendo y subiendo hasta que haya ocho -3 s al final del 1 .

El resultado final después de evaluar los poderes en el problema.

Si hemos conectado todas las piezas de esta expresión en los lugares correctos, ahora simplemente se convierte en una cuestión de evaluar los poderes primero. Por ejemplo, haciendo 2xˆ8 y obteniendo 256xˆ8 . O posiblemente, más adelante haciendo -3ˆ3 y obteniendo -27 . Después de eso tenemos que multiplicar los números en cada grupo, y terminamos con este monstruo de respuesta. Observe que los términos alternan entre números positivos y negativos. Esto se debe a que -3 se vuelve positivo cuando se eleva a una potencia par, pero permanece negativo cuando se eleva a una potencia impar.

Es cierto que usar el teorema del binomio para un problema como este puede no parecer un atajo o una manera fácil, pero definitivamente sigue siendo cierto que usar nuestra técnica FOIL para esta pregunta hubiera sido mucho más largo y frustrante.

Resumen de la lección

Para revisar:

• Los binomios son expresiones algebraicas con dos términos
• El teorema del binomio nos da un método para expandir un binomio que se eleva a un exponente.
• Usar el teorema para una expansión tiene tres partes:

1. La fila correspondiente del Triángulo de Pascal
2. Poderes decrecientes del primer mandato
3. Aumento de poderes del segundo mandato

• Finalmente, multiplicar cada grupo de números nos dice que (2x-3) ^ 8 es igual a este monstruo de expresión.

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, podrá:

• Explica el teorema del binomio
• Definir binomios
• Comprender las diferentes partes del teorema del binomio.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador