Tetraedro: Definición y fórmula

Definiendo el tetraedro

Un tetraedro , o tetraedro plural , es simplemente una pirámide con una base triangular. Entonces no, no como los de Egipto. Es un objeto sólido con cuatro caras triangulares, tres en los lados o caras laterales , y una en la parte inferior o base , y cuatro vértices o esquinas. Si las caras son todas triángulos equiláteros congruentes, entonces el tetraedro se llama regular .

De hecho, es posible que haya visto y tenido en sus manos un tetraedro normal. Algunos juegos usan dados de 4 lados en forma de tetraedros regulares.

Fórmula de volumen en general

Debido a que el tetraedro es un tipo de pirámide, su fórmula de volumen es la misma que para todas las pirámides:

En esta fórmula, B es el área de la base y h es la altura.

Por ejemplo, un tetraedro con una altura de 10 pulgadas y un triángulo de base que tiene un área de 12 pulgadas cuadradas, tendría un volumen de un tercio por 12 por 10. El volumen es igual a 40 pulgadas cúbicas.

El siguiente ejemplo es un poco más desafiante. Suponga que hay un tetraedro con vértices ubicados en los puntos A = (0, 0, 0), B = (5, 0, 0), C = (0, 6, 0) y D = (0, 0, 7 ). ¿Cuál es el volumen del tetraedro ABCD ?

Es útil recordar un poco de geometría de coordenadas para identificar las longitudes de los segmentos AB , AC y AD . Dado que estos segmentos son paralelos a los ejes x , y y z respectivamente, las longitudes son fáciles de encontrar: AB = 5, AC = 6 y AD = 7. Ahora pase al cálculo del volumen.

Primero encuentra el área base. La base en este caso es un triángulo rectángulo, base AC = 6 y altura AB = 5, ¡no debe confundirse con la altura del tetraedro mismo! Entonces, el área base es (1/2) (6) (5) = 15. Esto es B en la fórmula de volumen anterior. A continuación, la altura del sólido es h = AD = 7, por lo que el volumen del tetraedro es:

V = (1/3) (15) (7) = 35

Volumen de un tetraedro regular

La fórmula de volumen discutida anteriormente es realmente útil para situaciones en las que el área de la base y la altura se dan o son fáciles de encontrar. Puede que tengas que usar un poco de trigonometría para encontrar una altura faltante (ya sea para el triángulo de la base o para el tetraedro en sí) o la fórmula de Heron para el área del triángulo de la base.

Todas las caras del tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a . Usando técnicas de geometría, uno puede encontrar el área de la base y la altura del tetraedro y conectarlos a la fórmula del volumen para obtener:

Por ejemplo, el volumen de un tetraedro regular cuya arista tiene una longitud de 3 es exactamente:

Área de superficie

¡Encontrar el área de la superficie de un tetraedro es tan fácil como encontrar áreas de triángulos! Todos los tetraedros tienen cuatro caras triangulares y el área de la superficie de cualquier sólido se define como la suma de las áreas de todas las caras. Esto funciona para cualquier tipo de tetraedro (regular o no), pero los problemas pueden ser complicados. Puede ser necesario usar trigonometría y geometría para encontrar las alturas de los triángulos que faltan.

Por otro lado, existe una fórmula sencilla para el área de superficie de un tetraedro regular de longitud lateral a :

Por ejemplo, el área de la superficie de un tetraedro de longitud de borde 3 es exactamente:

Resumen de la lección

Un tetraedro es una pirámide triangular con 4 caras; cada uno es un triángulo. Un tetraedro regular tiene todas las longitudes de los bordes iguales. Existen fórmulas para el volumen y el área de superficie de un tetraedro:

Para encontrar el área de la superficie de un tetraedro, encuentra el área de cada uno de los cuatro triángulos. Luego suma las áreas de los cuatro triángulos.

a = la longitud de un lado

Rodrigo Ricardo Editor y fundador